Exercício 19. (Apostol seção 10.5 exercício 9,10,11,12 ) Calcule as integrais de linha abaixo:
integralgamma(x^2-2 x y) d x+(y^2-2 x y) d y, em que gamma percorre a parábola y=x^2 dos pontos (-2,4) até o ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralgammal(x^2-2xyr),dx+l(y^2-2xyr),dy
ao longo da parábola y=x^2 indo de (-2,4) até (1,1). Vamos usar parametrização de curva para escrever tudo em função de um único parâmetro.

Passo 2

Parametrizamos gamma por
x(t)=t, y(t)=t^2, tin[-2,1]
Então
dx=dt, dy=2t,dt

Passo 3

Substituímos em P,dx+Q,dy, onde P(x,y)=x^2-2xy e Q(x,y)=y^2-2xy:
P,dx+Q,dy =(t^2-2tcdot t^2),dt +(t^4-2tcdot t^2),2t,dt =(t^2-2t^3+2t^5-4t^4),dt

Passo 4

Integramos o polinômio em t:
integrall(2t^5-4t^4-2t^3+t^2r),dt =t^63-4t^55-t^42+t^33+C

Passo 5

Avaliamos a primitiva nos limites t=-2 e t=1:
F(1)=tfrac13-tfrac45-tfrac12+tfrac13 =-tfrac1930, F(-2)=tfrac643+tfrac1285-8-tfrac83 =tfrac54415
Assim,
integralgammaP,dx+Q,dy =F(1)-F(-2) =-1930-54415 =-36910

Resposta

-tfrac36910

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