Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule: partial zpartial t, partial zpartial s e partial wpartial t, partial wpartial s e partial wpartial r: z=x^2-y^2, x=3 t-s, y=t+2 s

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da cadeia em duas etapas: primeiro para z=f(x,y) sabendo que x e y são funções de t e s; depois para w=f(x,y,z) sabendo que x=x(t,s), y=y(t,s) e z=z(x,y). Vamos precisar da definição de derivada parcial composta.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a t e s:
x=3t-s
y=t+2s
então
partial xpartial t=3, partial xpartial s=-1, partial ypartial t=1, partial ypartial s=2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em z=x2-y2:
partial zpartial t=partial zpartial xpartial xpartial t+partial zpartial ypartial ypartial t
Como
partial zpartial x=2x, partial zpartial y=-2y,
substituímos:
partial zpartial t=2xcdot3+(-2y)cdot1=6x-2y

Passo 4

De modo semelhante para s:
partial zpartial s=partial zpartial xpartial xpartial s+partial zpartial ypartial ypartial s=2xcdot(-1)+(-2y)cdot2=-2x-4y
Se quisermos em t e s, basta lembrar que x=3t-s e y=t+2s, o que leva a
partial zpartial t=6(3t-s)-2(t+2s)=16t-10s,
partial zpartial s=-2(3t-s)-4(t+2s)=-10t-6s

Passo 5

Para w=f(x,y,z) usamos a regra da cadeia total em três variáveis:
partial wpartial t=wxpartial xpartial t+wypartial ypartial t+wzpartial zpartial t,
onde escrevemos brevemente wx=partial wpartial x, etc. Como já temos x_t, y_t e z_t, fica
partial wpartial t=3wx+1wy+(6x-2y)wz

Passo 6

Igual para s:
partial wpartial s=wxpartial xpartial s+wypartial ypartial s+wzpartial zpartial s=-1wx+2wy+(-2x-4y)wz

Passo 7

Como x e y não dependem de r, nem z depende de r diretamente, temos
partial wpartial r=wxcdot0+wycdot0+wzcdot0=0

Resposta

Exercícios relacionados