Usando a regra da cadeia para
e
, calcule:
:
Passo 1
O enunciado pede para usar a regra da cadeia em duas etapas: primeiro para z=f(x,y) sabendo que x e y são funções de t e s; depois para w=f(x,y,z) sabendo que x=x(t,s), y=y(t,s) e z=z(x,y). Vamos precisar da definição de derivada parcial composta.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a t e s:
então
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia em z=x2-y2:
Como
substituímos:
Passo 4
De modo semelhante para s:
Se quisermos em t e s, basta lembrar que x=3t-s e y=t+2s, o que leva a
Passo 5
Para w=f(x,y,z) usamos a regra da cadeia total em três variáveis:
onde escrevemos brevemente
Passo 6
Igual para s:
Passo 7
Como x e y não dependem de r, nem z depende de r diretamente, temos