1. Em um certo laboratório, após várias medidas, um cientista concluiu que a concentração de certa substância em uma amostra varia em função do tempo, medido em horas, segundo a função quadrática f(t)=5 t-t^2. Determine em que momento, após iniciadas as medidas, a concentração dessa substância foi máxima nessa amostra e também qual era essa concentração máxima.

Passo 1

O enunciado dá a variação da concentração em função do tempo por uma parábola
f(t)=5t - t^2
com t em horas. Como o coeficiente de t^2 é negativo, essa parábola é côncava para baixo e atinge um valor máximo no vértice. Para encontrar o instante e o valor máximo, vamos usar a derivada (que indica onde a função muda de crescente para decrescente).

Passo 2

Calculemos a derivada de f:
f'(t) = ddtl(5t - t^2r) = 5 - 2t
Para encontrar o ponto crítico, igualamos a derivada a zero:
5 - 2t = 0 Longrightarrow t = 52
Logo, a concentração é máxima em t = tfrac52 horas.

Passo 3

Agora, substituímos t = tfrac52 em f(t) para achar o valor máximo:
f!l(tfrac52r) = 5!cdot!tfrac52 ;-;l(tfrac52r)^2 = tfrac252 - tfrac254 = tfrac50 - 254 = tfrac254

Resposta

A concentração máxima ocorre em t = tfrac52 horas e vale tfrac254.

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