Determine o plano tangente à superfície da função f(x, y) dada no ponto P dado.
f(x, y)=3 y^2-2 x^2+x, P=(2,-1,-3)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície definida por f(x,y)=3y^2-2x^2+x no ponto P=(2,-1,-3). O conteúdo envolve derivadas parciais e a fórmula do plano tangente de z=f(x,y). Vamos calcular as derivadas parciais, avaliá-las em P e usar a expressão do plano.

Passo 2

As derivadas parciais de f são:
fx(x,y) = -4x + 1
fy(x,y) = 6y

Passo 3

Avaliando em P=(2,-1) obtemos:
fx(2,-1) = -4cdot2 + 1 = -7
fy(2,-1) = 6cdot(-1) = -6

Passo 4

A fórmula geral do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é:
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo x0=2, y0=-1, z0=-3, fx(2,-1)=-7 e fy(2,-1)=-6, temos:
z + 3 = -7(x - 2) - 6(y + 1)

Resposta

z = -7x - 6y + 5

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