Dê exemplo de funções f e g para as quais:
lim x infty f(x)=infty e lim x infty g(x)=infty e lim x infty f(x)-g(x)=5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar duas funções f e g tais que
limxtoinftyf(x)=infty,
limxtoinftyg(x)=infty
e ao mesmo tempo
limxtoinftyl(f(x)-g(x)r)=5.
Para isso vamos usar a ideia de escolher f e g como dois crescimentos iguais, só “deslocados” por uma constante.

Passo 2

Suponha que exista uma função auxiliar h(x) tal que limxtoinftyh(x)=infty. Se definirmos
g(x)=h(x), f(x)=h(x)+5,
então claramente
limxtoinftyg(x)=infty e limxtoinftyf(x)=infty,
e ainda
f(x)-g(x)=l(h(x)+5r)-h(x)=5
para todo x, de modo que
limxtoinfty(f(x)-g(x))=5.

Passo 3

Basta escolher um h(x) simples que diverge para infinito. A escolha mais direta é
h(x)=x,
pois limxtoinftyx=infty.

Passo 4

Com h(x)=x temos
g(x)=x, f(x)=x+5
Verificando os limites:
limxtoinftyg(x)=limxtoinftyx=infty, limxtoinftyf(x)=limxtoinfty(x+5)=infty,
e
limxtoinftyl(f(x)-g(x)r) =limxtoinftyl((x+5)-xr) =5

Resposta

f(x)=x+5, g(x)=x

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