Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem inicialmente 50 miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10 % de sua massa original, determine:
O tempo após o qual o material perde metade de sua massa original.

Passo 1

O enunciado fala de decaimento radioativo com taxa proporcional à quantidade presente. Temos inicialmente Q0=50 mg e modelo de decaimento exponencial Q(t)=Q0e^-kt. Após 2 h, o material perde 10% da massa original, ou seja, Q(2)=0,9,Q0. Precisamos achar o tempo T tal que Q(T)=Q0/2.

Passo 2

Para encontrar a constante de decaimento k, usamos a condição em bloco:
Q(2)=Q0e^-2k=0,9,Q0
Cancelando Q0 e isolando k, temos:
e^-2k=0,9
-2k=ln(0,9)Rightarrow k=-12ln(0,9)approx0,05268 h^-1.

Passo 3

Agora calculamos o tempo para metade da massa:
Q(T)=Q0e^-kT=Q02
Cancelando Q0 e isolando T:
e^-kT=tfrac12Rightarrow -kT=lnl(tfrac12r)=-ln2Rightarrow T=ln2kapprox0,69310,05268approx13,16 h.

Resposta

A meia-vida do material é aproximadamente 13,16 horas.

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