Colocou-se uma barra de metal, com temperatura de
e vale
. Após 30 minutos mediu-se a temperatura da barra encontrando o valor de
. Pergunta-se:
qual o tempo para a barra atingir a temperatura de
? R:
qual o tempo para a barra atingir a temperatura de
Passo 1
O enunciado coloca uma barra metálica com temperatura inicial de 120 °C num ambiente a 8 °C. Depois de 30 min sua temperatura cai para 70 °C e queremos saber em que tempo ela chega a 65 °C. Aqui o conteúdo é a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do ambiente.
Passo 2
A Lei de Newton traduz-se na equação diferencial $$
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_a\bigr)
$$ cuja solução geral é
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_a\bigr)
$$ cuja solução geral é
$$
T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-k t}
$$
T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-k t}
$$
onde
,
e
é a constante de resfriamento.
Passo 3
Para determinar
, usamos o dado de que
. Substituindo na solução:
$$
70 = 8 + (120 - 8)e^{-30k}
$$
70 = 8 + (120 - 8)e^{-30k}
$$
Isto é,
$$
62 = 112 e^{-30k} \quad\Longrightarrow\quad e^{-30k} = \frac{62}{112} = \frac{31}{56}
$$
62 = 112 e^{-30k} \quad\Longrightarrow\quad e^{-30k} = \frac{62}{112} = \frac{31}{56}
$$
Logo
$$
k = -\frac{1}{30}\ln\Bigl(\tfrac{31}{56}\Bigr)
$$.
k = -\frac{1}{30}\ln\Bigl(\tfrac{31}{56}\Bigr)
$$.
Passo 4
Agora queremos achar
tal que
. Substituindo na fórmula:
$$
65 = 8 + 112 e^{-k t}
$$
65 = 8 + 112 e^{-k t}
$$
ou seja
$$
57 = 112 e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-k t} = \frac{57}{112}
$$
57 = 112 e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-k t} = \frac{57}{112}
$$
e daí
$$
t = -\frac{1}{k}\ln\Bigl(\tfrac{57}{112}\Bigr).
$$
t = -\frac{1}{k}\ln\Bigl(\tfrac{57}{112}\Bigr).
$$
Passo 5
Bastou calcular numericamente
$$
k = -\tfrac{1}{30}\ln\bigl(31/56\bigr) \approx 0,01967\ min^{-1},
$$
k = -\tfrac{1}{30}\ln\bigl(31/56\bigr) \approx 0,01967\ min^{-1},
$$
$$
t = -\tfrac{1}{0,01967}\ln\bigl(57/112\bigr) \approx 34,27\ min.
$$
t = -\tfrac{1}{0,01967}\ln\bigl(57/112\bigr) \approx 34,27\ min.
$$
Resposta
34,27 min