Resolva as equações diferenciais de 1^a ordem lineares:
d yd x+1x+1 y=cos x

Passo 1

A equação dada é dydx + 1x+1y = cos x. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que transforma a equação em uma derivada de produto.

Passo 2

O fator integrante mu(x) é dado por expl(integral P(x),dxr), onde P(x)=1/(x+1). Calculando:
mu(x)=expl(integral 1x+1,dxr)=expl(ln|x+1|r)=x+1

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x+1:
(x+1)dydx+x+1x+1y=(x+1)cos x
Ou seja,
(x+1)dydx+y=(x+1)cos x
O lado esquerdo agora é a derivada de (x+1)y, pois
ddxl[(x+1)yr]=(x+1)dydx+y

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddxl[(x+1)yr],dx=integral (x+1)cos x,dx
O lado esquerdo vira (x+1)y. No direito, calculamos
integral (x+1)cos x,dx=integral xcos x,dx+integral cos x,dx
Fazendo integração por partes em integral xcos x,dx (com u=x, dv=cos x,dx), obtemos xsin x+cos x. Somando integralcos x,dx=sin x, dá xsin x+cos x+sin x.

Passo 5

Agora temos
(x+1)y=xsin x+cos x+sin x+C
Para isolar y, dividimos ambos os lados por x+1:
y=xsin x+sin x+cos x+Cx+1

Passo 6

Esse é o formato geral da solução da equação diferencial. Podemos escrever também
y=sin x+cos x+Cx+1
Ambas as formas estão corretas e representam a família de soluções gerais.

Resposta

y=xsin x+sin x+cos x+Cx+1

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