Colocou-se uma barra de metal, com temperatura de 120^circ C em um ambiente cuja temperatura é constanteé e vale 8^circ C. Após 30 minutos mediu-se a temperatura da barra encontrando o valor de 70^circ C. Pergunta-se:
após 50 minutos qual a temperatura da barra? R: 49,8^circ C
Sugestão: Equação de Temperatura d Td t=k(Tm-T) onde Tm é a temperatura ambiente.

Passo 1

O enunciado diz que uma barra de metal, com temperatura inicial de 120°C, é colocada num ambiente a 8°C e após 30 min sua temperatura cai para 70°C. Queremos achar a temperatura após 50 min usando a lei do resfriamento de Newton.

Passo 2

A lei do resfriamento de Newton é dada pela equação diferencial:
dTdt=kl(Tm-Tr)
onde Tm=8^circC. Para resolver, reescrevemos como dTdt=-k(T-Tm) e integramos, obtendo a solução geral:
T(t)=Tm+(T(0)-Tm)e^-k t

Passo 3

Aplicando a condição inicial T(0)=120^circC, temos:
T(t)=8+(120-8)e^-k t=8+112e^-k t

Passo 4

Usando a medida em t=30 min, T(30)=70^circC. Logo:
70=8+112e^-30k
Resolvendo para k:
112e^-30k=62
e^-30k=62112approx0,5536
-30k=ln(0,5536)Rightarrow kapprox-ln(0,5536)30approx0,0197,min^-1

Passo 5

Para achar T(50), usamos:
T(50)=8+112e^-50k
Substituindo kapprox0,0197:
e^-50k=e^-50times0,0197approx e^-0,985approx0,3735
T(50)=8+112times0,3735approx8+41,83approx49,8^circC

Resposta

49,8^{\circ}C

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