Um certo material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à massa presente no instante
. Dois anos após o in
cio de uma experi
ncia, observou-se a 20 toneladas do material. Após oito anos, a massa medida foi de quatro toneladas. Qual era a massa desse material no instante inicial?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a desintegração radioativa, onde a taxa de desintegração é proporcional à massa presente em um determinado instante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à sua massa, podemos modelar isso com a seguinte equação diferencial:
Aqui, $ m $ é a massa do material no instante $ t $ e $ k $ é a constante de proporcionalidade positiva.
Passo 3
Essa equação diferencial é uma equação de separação de variáveis. Para resolvê-la, vamos separar $ m $ e $ t $:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Passo 4
Após integrar, obtemos:
Onde $ C $ é a constante de integração. Para simplificar, podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados:
Podemos chamar $ e^{C} $ de $ m_0 $, que representa a massa inicial do material no instante $ t = 0 $:
Passo 5
Agora, vamos usar as informações dadas no problema para encontrar os valores de $ m_0 $ e $ k $. Sabemos que:
-
Dois anos após o início ($ t = 2 $), a massa é de 20 toneladas:
-
Oito anos após o início ($ t = 8 $), a massa é de 4 toneladas:
Passo 6
Vamos resolver essas duas equações para encontrar $ k $. Primeiro, dividimos a segunda equação pela primeira para eliminar $ m_0 $:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ k $:
Passo 7
Com o valor de $ k $ encontrado, vamos substituir de volta na primeira equação para encontrar $ m_0 $:
Passo 8
Calculando $ 5^{\frac{1}{3}} $ (a raiz cúbica de 5):
Então,
Resposta
A massa inicial do material era aproximadamente 34,2 toneladas.