Um certo material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à massa presente no instante t. Dois anos após o in barA cio de uma experi tildeA^ a ncia, observou-se a 20 toneladas do material. Após oito anos, a massa medida foi de quatro toneladas. Qual era a massa desse material no instante inicial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a desintegração radioativa, onde a taxa de desintegração é proporcional à massa presente em um determinado instante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à sua massa, podemos modelar isso com a seguinte equação diferencial:
dmdt = -k cdot m
Aqui, $ m $ é a massa do material no instante $ t $ e $ k $ é a constante de proporcionalidade positiva.

Passo 3

Essa equação diferencial é uma equação de separação de variáveis. Para resolvê-la, vamos separar $ m $ e $ t $:
m
Agora, vamos integrar ambos os lados:
t

Passo 4

Após integrar, obtemos:
ln(m) = -k t + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Para simplificar, podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados:
C
Podemos chamar $ e^{C} $ de $ m_0 $, que representa a massa inicial do material no instante $ t = 0 $:
m = e^-k t + C = e^C cdot e^-k t

Passo 5

Agora, vamos usar as informações dadas no problema para encontrar os valores de $ m_0 $ e $ k $. Sabemos que:
  • Dois anos após o início ($ t = 2 $), a massa é de 20 toneladas:
    m0
  • Oito anos após o início ($ t = 8 $), a massa é de 4 toneladas:
    k

Passo 6

Vamos resolver essas duas equações para encontrar $ k $. Primeiro, dividimos a segunda equação pela primeira para eliminar $ m_0 $:
k
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ k $:
m0

Passo 7

Com o valor de $ k $ encontrado, vamos substituir de volta na primeira equação para encontrar $ m_0 $:
k

Passo 8

Calculando $ 5^{\frac{1}{3}} $ (a raiz cúbica de 5):
5^13
Então,
5^13 approx 1,710

Resposta

A massa inicial do material era aproximadamente 34,2 toneladas.

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