Considere a equação diferencial:
(y^2-8 x y)+(2 x y-4 x^2) y^prime=0
Diga porque o intervalo de validade da solução do PVI do item © está determinado pelo fato de a curva solução não interceptar as retas x=0 e y=2 x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(y^2 - 8xy) + (2xy - 4x^2)y'=0
é um caso de EDO de primeira ordem escrita em forma diferencial M(x,y)+N(x,y)y'=0. Precisamos entender por que, ao aplicar o PVI (item ©), o intervalo de existência da solução é limitado pelas retas x=0 e y=2x.

Passo 2

Escrevendo em forma normal, isolamos y':
y'=-y^2-8xy2xy-4x^2=-y(y-8x)2x(y-2x)
Assim definimos
f(x,y)=-y(y-8x)2x(y-2x)

Passo 3

Pelo Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, para garantirmos solução única precisamos que f(x,y) e partial f/partial y sejam contínuas em uma vizinhança do ponto inicial. Aqui o único obstáculo são os zeros do denominador de f:
2x(y-2x)=0iff x=0 ou y=2x

Passo 4

Logo, nas retas x=0 e y=2x a função f deixa de estar bem definida (e não satisfaz mais as hipóteses do teorema). Por isso, a curva solução do PVI não pode cruzar essas retas.

Passo 5

Concluímos que o intervalo máximo de validade da solução fica limitado pelos pontos em que a trajetória se aproximaria de x=0 ou de y=2x, pois ali a EDO deixa de ser válida e única.

Resposta

Porque nessas retas o denominador de f(x,y) zera e faz a função deixar de ser contínua, violando as hipóteses do teorema de existência e unicidade e impedindo a solução de atravessá-las, determinando assim o limite do intervalo de validade.

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