Considere a equação diferencial:
Diga porque o intervalo de validade da solução do PVI do item © está determinado pelo fato de a curva solução não interceptar as retas
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
é um caso de EDO de primeira ordem escrita em forma diferencial
. Precisamos entender por que, ao aplicar o PVI (item ©), o intervalo de existência da solução é limitado pelas retas
e
.
Passo 2
Escrevendo em forma normal, isolamos
:
Assim definimos
Passo 3
Pelo Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, para garantirmos solução única precisamos que
e
sejam contínuas em uma vizinhança do ponto inicial. Aqui o único obstáculo são os zeros do denominador de
:
Passo 4
Logo, nas retas
e
a função
deixa de estar bem definida (e não satisfaz mais as hipóteses do teorema). Por isso, a curva solução do PVI não pode cruzar essas retas.
Passo 5
Concluímos que o intervalo máximo de validade da solução fica limitado pelos pontos em que a trajetória se aproximaria de
ou de
, pois ali a EDO deixa de ser válida e única.
Resposta
Porque nessas retas o denominador de
zera e faz a função deixar de ser contínua, violando as hipóteses do teorema de existência e unicidade e impedindo a solução de atravessá-las, determinando assim o limite do intervalo de validade.