Um certo material radioativo tem uma constante de decaimento \lambda=0.002 \mathrm{~s}^{-1}. A quantidade inicial de átomos do material é N_{0}=10^{6}.
(a) Usando a equação da lei de decaimento radioativo N(t)=N_{0} e^{-\lambda t}, determine o número de átomos restantes após 500 segundos.
(b) Qual é o tempo de meia-vida t_{1 / 2} desse material?
(c) Depois de quanto tempo a quantidade de átomos será reduzida a 10 \% da quantidade inicial?

Passo 1

O enunciado trata da lei de decaimento radioativo, cujo modelo é
N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},
onde \lambda é a constante de decaimento e N_{0} é o número inicial de átomos. Aqui temos \lambda=0{,}002\\ \mathrm{s}^{-1} e N_{0}=10^{6}. Vamos:
  1. Calcular N(500).
  2. Determinar o tempo de meia-vida t_{1/2}.
  3. Achar o tempo para N(t)=0{,}1\,N_{0}.

Passo 2

Para t=500 s,
N(500)=10^{6}e^{-0{,}002\cdot500}=10^{6}e^{-1}\,.
Como e^{-1}=1/e\approx0{,}367879,
N(500)\approx10^{6}\times0{,}367879\approx3,678\times10^{5}.

Passo 3

A meia-vida t_{1/2} é o tempo em que N(t_{1/2})=N_{0}/2. Usando
\frac{N_{0}}{2}=N_{0}e^{-\lambda t_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\lambda t_{1/2}}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad t_{1/2}=\frac{\ln(2)}{\lambda}.
Substituindo \lambda=0{,}002:
t_{1/2}=\frac{\ln(2)}{0{,}002}\approx\frac{0{,}6931}{0{,}002}\approx346{,}6\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Para achar t tal que N(t)=0{,}1\,N_{0}, fazemos
0{,}1= e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad -\lambda t=\ln(0{,}1)=-\ln(10) \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln(10)}{\lambda}.
Como \ln(10)\approx2{,}3026 e \lambda=0{,}002:
t\approx\frac{2{,}3026}{0{,}002}\approx1\,151{,}3\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) N(500)\approx3{,}678\times10^{5}.
(b) t_{1/2}\approx346{,}6\\ \mathrm{s}.
(c) t\approx1\,151{,}3\\ \mathrm{s}.

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