Um determinado fóssil tem 35 \% de Carbono-14, quando comparado com o mesmo organismo vivo. Qual a idade estimada para o fóssil? Quando o organismo morre { }_{6}^{14} \mathrm{C} decai com meia-vida de 5730 anos.

Passo 1

O enunciado diz que a fração de Carbono-14 remanescente no fóssil é de 35\% em relação ao organismo vivo. Como o decaimento é exponencial, usaremos a lei
\frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t},
onde N_0 é a quantidade inicial de \ce{^{14}C}, N(t) a quantidade após tempo t e \lambda a constante de decaimento. Sabemos a meia-vida T_{1/2}=5730 anos.

Passo 2

A constante de decaimento \lambda se relaciona com a meia-vida por
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}.

Passo 3

Como a fração remanescente é 0{,}35, temos
0{,}35 = e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{1}{\lambda}\ln(0{,}35).

Passo 4

Substituindo \lambda = \frac{\ln 2}{5730} na expressão de t:
t = -\frac{1}{\ln 2 / 5730}\,\ln(0{,}35) = \frac{5730}{\ln 2}\,\bigl(-\ln(0{,}35)\bigr).
Numericamente,
\ln(0{,}35)\approx -1{,}0498, \quad \frac{5730}{\ln 2}\approx 8267{,}8,
portanto
t\approx 8267{,}8\times1{,}0498\approx 8680\text{ anos}.

Resposta

A idade estimada do fóssil é aproximadamente 8{,}7\times10^3 anos (cerca de 8680 anos).

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