Em termos de um sistema cartesiano fixo, a posição de um carro A é \overrightarrow{r_{c}}=30 t \hat{\imath} \mathrm{~m} e a posição de um helicóptero é \overrightarrow{r_{H}}=1000 \hat{\imath}+90 t \hat{\jmath}+ 1000 \hat{k} \mathrm{~m} onde t é dado em segundos. Encontre: a) a velocidade do helicóptero em relação ao carro. b) a mínima separação entre os dois.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Posição do carro A: \overrightarrow{r_{c}}=30\,t\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m}, com t em segundos.
    • Posição do helicóptero H: \overrightarrow{r_{H}}=1000\,\hat{\imath}+90\,t\,\hat{\jmath}+1000\,\hat{k}\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede:
    • (a) a velocidade do helicóptero em relação ao carro;
    • (b) a mínima separação entre os dois (distância mínima entre os pontos representando o carro e o helicóptero).

Passo 2

Entender o que é “velocidade do helicóptero em relação ao carro” e como calcular: a velocidade relativa é a diferença entre os vetores velocidade do helicóptero e do carro.
  • A velocidade é a derivada temporal da posição. Para qualquer partícula com posição \overrightarrow{r}(t), a velocidade é \overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{r}}{dt}.
  • Vou calcular as velocidades individuais primeiro.

Passo 3

Calcular as velocidades do carro e do helicóptero:
  • Para o carro: \overrightarrow{v_{c}}=\frac{d\overrightarrow{r_{c}}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(30\,t\,\hat{\imath}\bigr)=30\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}.Aqui \overrightarrow{v_{c}} é constante e vale 30 m/s na direção +\hat{\imath}.
  • Para o helicóptero: \overrightarrow{v_{H}}=\frac{d\overrightarrow{r_{H}}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(1000\,\hat{\imath}+90\,t\,\hat{\jmath}+1000\,\hat{k}\bigr)=90\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}.O helicóptero tem velocidade constante de 90 m/s na direção +\hat{\jmath}.

Passo 4

Calcular a velocidade relativa (helicóptero em relação ao carro). Pela definição:
\overrightarrow{v_{H/C}}=\overrightarrow{v_{H}}-\overrightarrow{v_{c}}.
Substituindo:
\overrightarrow{v_{H/C}}=90\,\hat{\jmath}-30\,\hat{\imath}=-30\,\hat{\imath}+90\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática: isso significa que, do ponto de vista do carro, o helicóptero parece deslocar-se com componente -30 m/s no eixo x (isto é, indo para x menor em relação ao carro) e +90 m/s no eixo y.

Passo 5

(se útil) calcular a rapidez relativa (módulo da velocidade relativa) para ter uma noção da velocidade escalar:
\bigl\lVert\overrightarrow{v_{H/C}}\bigr\rVert=\sqrt{(-30)^{2}+90^{2}}=\sqrt{900+8100}=\sqrt{9000}=30\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora vamos achar a mínima separação entre os dois. Ideia prática: trabalhar com o vetor posição relativa e minimizar sua norma. Defino a posição relativa do helicóptero em relação ao carro:
\overrightarrow{r_{rel}}(t)=\overrightarrow{r_{H}}(t)-\overrightarrow{r_{c}}(t).
Substituindo as posições dadas:
\overrightarrow{r_{rel}}(t)=\bigl(1000-30\,t\bigr)\,\hat{\imath}+90\,t\,\hat{\jmath}+1000\,\hat{k}.
A distância entre os dois é d(t)=\bigl\lVert\overrightarrow{r_{rel}}(t)\bigr\rVert. Para simplificar os cálculos, minimizamos d^{2}(t) (mesmo t que minimiza d minimiza d^{2}), evitando a raiz.

Passo 7

Escrever d^{2}(t) e minimizar por derivada:
d^{2}(t)=\bigl(1000-30t\bigr)^{2}+(90t)^{2}+1000^{2}.
Expandindo:
d^{2}(t)=9000\,t^{2}-60000\,t+2000000.
Derivando em relação a t e igualando a zero para obter o mínimo:
\frac{d}{dt}d^{2}(t)=18000\,t-60000=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{60000}{18000}=\frac{10}{3}\\ \mathrm{s}\approx3,333\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Calcular a distância mínima substituindo t=\dfrac{10}{3} em d^{2}(t):
d^{2}\Bigl(\frac{10}{3}\Bigr)=1900000,
portanto
d_{\min}=\sqrt{1900000}=100\sqrt{190}\\ \mathrm{m}\approx1378,4\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Comentário didático adicional (método geométrico curto): a distância entre duas partículas em movimento relativo é mínima quando o vetor posição relativa é ortogonal à velocidade relativa, ou seja quando \overrightarrow{r_{rel}}(t)\cdot\overrightarrow{v_{H/C}}=0. Aplicando essa condição ao mesmo \overrightarrow{r_{rel}}(t) e \overrightarrow{v_{H/C}}=-30\,\hat{\imath}+90\,\hat{\jmath} obtém-se também t=10/3\\ \mathrm{s}, como verificação alternativa.

Resposta

(a) \overrightarrow{v_{H/C}}=-30\,\hat{\imath}+90\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}, \bigl\lVert\overrightarrow{v_{H/C}}\bigr\rVert=30\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}
(b) d_{\min}=100\sqrt{190}\\ \mathrm{m}\approx1378{,}4\\ \mathrm{m}

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