Em termos de um sistema cartesiano fixo, a posição de um carro A é \overrightarrow{r_{c}}=30 t \hat{\imath} \mathrm{~m} e a posição de um helicóptero é \overrightarrow{r_{H}}=1000 \hat{\imath}+90 t \hat{\jmath}+ 1000 \hat{k} \mathrm{~m} onde t é dado em segundos. Encontre: a) a velocidade do helicóptero em relação ao carro. b) a mínima separação entre os dois.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
Posição do carro A: \overrightarrow{r_{c}}=30\,t\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m}, com t em segundos.
Posição do helicóptero H: \overrightarrow{r_{H}}=1000\,\hat{\imath}+90\,t\,\hat{\jmath}+1000\,\hat{k}\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) a velocidade do helicóptero em relação ao carro;
(b) a mínima separação entre os dois (distância mínima entre os pontos representando o carro e o helicóptero).
Passo 2
Entender o que é “velocidade do helicóptero em relação ao carro” e como calcular: a velocidade relativa é a diferença entre os vetores velocidade do helicóptero e do carro.
A velocidade é a derivada temporal da posição. Para qualquer partícula com posição \overrightarrow{r}(t), a velocidade é \overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{r}}{dt}.
Vou calcular as velocidades individuais primeiro.
Passo 3
Calcular as velocidades do carro e do helicóptero:
Para o carro:\overrightarrow{v_{c}}=\frac{d\overrightarrow{r_{c}}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(30\,t\,\hat{\imath}\bigr)=30\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}.Aqui \overrightarrow{v_{c}} é constante e vale 30 m/s na direção +\hat{\imath}.
Para o helicóptero:\overrightarrow{v_{H}}=\frac{d\overrightarrow{r_{H}}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(1000\,\hat{\imath}+90\,t\,\hat{\jmath}+1000\,\hat{k}\bigr)=90\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}.O helicóptero tem velocidade constante de 90 m/s na direção +\hat{\jmath}.
Passo 4
Calcular a velocidade relativa (helicóptero em relação ao carro). Pela definição:
Explicação didática: isso significa que, do ponto de vista do carro, o helicóptero parece deslocar-se com componente -30 m/s no eixo x (isto é, indo para x menor em relação ao carro) e +90 m/s no eixo y.
Passo 5
(se útil) calcular a rapidez relativa (módulo da velocidade relativa) para ter uma noção da velocidade escalar:
Agora vamos achar a mínima separação entre os dois. Ideia prática: trabalhar com o vetor posição relativa e minimizar sua norma. Defino a posição relativa do helicóptero em relação ao carro:
A distância entre os dois é d(t)=\bigl\lVert\overrightarrow{r_{rel}}(t)\bigr\rVert. Para simplificar os cálculos, minimizamos d^{2}(t) (mesmo t que minimiza d minimiza d^{2}), evitando a raiz.
Comentário didático adicional (método geométrico curto): a distância entre duas partículas em movimento relativo é mínima quando o vetor posição relativa é ortogonal à velocidade relativa, ou seja quando \overrightarrow{r_{rel}}(t)\cdot\overrightarrow{v_{H/C}}=0. Aplicando essa condição ao mesmo \overrightarrow{r_{rel}}(t) e \overrightarrow{v_{H/C}}=-30\,\hat{\imath}+90\,\hat{\jmath} obtém-se também t=10/3\\ \mathrm{s}, como verificação alternativa.