Um certo negócio cresce em um valor a uma taxa proporcional à raiz quadrada do seu valor instantâneo. Se o negócio valia Há 2 anos R$1.000.000,00, e se o valor atual for de $1.440.000,00, determinar o instante em que ele valerá R \ 2.000 .000,00$.

Passo 1

O enunciado diz que o valor V(t) de um negócio cresce a uma taxa proporcional à raiz quadrada do seu valor instantâneo. Em termos matemáticos, isso significa que
\frac{dV}{dt} = k\,\sqrt{V},
onde k é a constante de proporcionalidade. Temos as condições iniciais V(-2)=1\,000\,000 (há 2 anos) e V(0)=1\,440\,000 (valor atual). Precisamos achar o instante t em que V(t)=2\,000\,000.

Passo 2

Separe variáveis na equação diferencial
\frac{dV}{\sqrt{V}} = k\,dt
e integre ambos os lados:
\int \frac{dV}{\sqrt{V}} = \int k\,dt \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt{V} = k\,t + C,
sendo C a constante de integração.

Passo 3

Use a condição em t=0: V(0)=1\,440\,000. Como \sqrt{1\,440\,000}=1200, temos
2\cdot1200 = k\cdot0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 2400.

Passo 4

Agora use V(-2)=1\,000\,000. Como \sqrt{1\,000\,000}=1000, substituindo em 2\sqrt{V}=k\,t + C com t=-2 e C=2400
2\cdot1000 = k\cdot(-2) + 2400 \quad\Longrightarrow\quad 2000 = -2k + 2400 \quad\Longrightarrow\quad k = 200.

Passo 5

Para achar t tal que V(t)=2\,000\,000, note que \sqrt{2\,000\,000}=1000\sqrt{2}. Substituindo em
2\sqrt{V} = 200\,t + 2400
obtém-se
2\cdot1000\sqrt{2} = 200\,t + 2400 \quad\Longrightarrow\quad 200\,t = 2000\sqrt{2} - 2400 \quad\Longrightarrow\quad t = 10\sqrt{2} - 12 \approx 2{,}14.

Resposta

O valor de R\$2\,000\,000,00 será atingido por volta de t = 10\sqrt{2} - 12 \approx 2{,}14 anos a partir de agora.

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