Suponha que a população y(t) de uma certa espécie de peixe ( por exemplo, atum ou linguado), numa certa área do oceano, seja descrita pela equação logística
\frac{d y}{d t}=r y\left(1-\frac{y}{K}\right),
onde r é a taxa de crescimento da população e K é a representa a quantidade de recursos disponíveis para o peixe no ambiente em que ele vive. Embora seja desejável usar essa fonte de alimentação, é intuitivamente claro que se forem apanhados muitos peixes, sua população pode ser reduzida a um nível abaixo do nível útil e até mesmo levada à extinção. Faça um estudo qualitativo desta equação e determine condições para que essa população possa chegar a esse nível abaixo do nível útil.

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo logístico
\frac{dy}{dt}=r\,y\Bigl(1-\frac{y}{K}\Bigr),
onde r>0 e K>0. Nosso objetivo é fazer um estudo qualitativo:
  1. Encontrar os pontos de equilíbrio.
  2. Determinar a estabilidade de cada equilíbrio.
  3. Concluir para quais condições a população pode cair abaixo de um nível útil ou chegar à extinção.

Passo 2

Encontramos os equilíbrios resolvendo
r\,y\Bigl(1-\frac{y}{K}\Bigr)=0
Isso ocorre se, e somente se,
y=0 \quad\text{ou}\quad y=K.

Passo 3

Para estudar a estabilidade, usamos a derivada
f(y)=r\,y\Bigl(1-\frac{y}{K}\Bigr), \qquad f'(y) =r\Bigl(1-\tfrac{y}{K}\Bigr)+r\,y\bigl(-\tfrac1K\bigr) =r\Bigl(1-\tfrac{2y}{K}\Bigr).
Em y=0 temos
f'(0)=r>0
logo y=0 é equilíbrio instável (repulsor).
Em y=K temos
f'(K)=r\Bigl(1-2\Bigr)=-r<0
logo y=K é equilíbrio estável (atrator).

Passo 4

Análise de fase mostra que, para qualquer condição inicial y(0)>0, a solução cresce e tende a K. Em particular:
  • Se quisermos que a população caia abaixo de um nível útil M>0, a única forma neste modelo sem exploração é tomar y(0)<M. Mas mesmo assim y(t) aumenta e acaba ultrapassando M.
  • A extinção y\to0 só ocorre se y(0)=0. Qualquer y(0)>0 faz y(t)\to K.

Passo 5

Para incluir o efeito de pesca (colheita constante), acrescenta-se uma taxa H\ge0 e passa-se a estudar
\frac{dy}{dt}=r\,y\Bigl(1-\frac{y}{K}\Bigr)-H.
Os equilíbrios satisfazem
r\,y\Bigl(1-\frac{y}{K}\Bigr)=H \;\Longrightarrow\; y^2-Ky+\frac{K\,H}{r}=0.
O discriminante é
\Delta = K^2 -4\,\frac{K\,H}{r} =K^2\Bigl(1-\tfrac{4H}{rK}\Bigr).
  1. Se H>rK/4, então \Delta<0 e não há equilíbrio positivo: a pesca supera o crescimento máximo e \;y(t)\to0,— extinção.
  2. Se 0\le H<rK/4, então \Delta>0 e surgem dois equilíbrios positivos
y_\pm = \frac{K}{2}\Bigl(1\pm\sqrt{1-\tfrac{4H}{rK}}\Bigr),
com y_-<y_+.
  • y_- é instável: se a população inicial y(0)<y_-, cai para zero.
  • y_+ é estável: se y(0)>y_-, tende a y_+.

Resposta

Sem pesca H=0, a população só zera se y(0)=0; caso contrário tende a K.
Com pesca constante H:
  • Se H>rK/4, não há equilíbrio positivo e a população vai à extinção.
  • Se 0\le H<rK/4, existe um limiar y_-. Se y(0)<y_-, a população declina até zero; se y(0)>y_-, tende a um equilíbrio positivo y_+.

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