Suponha que a população
de uma certa espécie de peixe ( por exemplo, atum ou linguado), numa certa área do oceano, seja descrita pela equação logística
onde
é a taxa de crescimento da população e
é a representa a quantidade de recursos disponíveis para o peixe no ambiente em que ele vive. Embora seja desejável usar essa fonte de alimentação, é intuitivamente claro que se forem apanhados muitos peixes, sua população pode ser reduzida a um nível abaixo do nível útil e até mesmo levada à extinção. Faça um estudo qualitativo desta equação e determine condições para que essa população possa chegar a esse nível abaixo do nível útil.
Passo 1
O enunciado nos dá o modelo logístico
onde
e
. Nosso objetivo é fazer um estudo qualitativo:
- Encontrar os pontos de equilíbrio.
- Determinar a estabilidade de cada equilíbrio.
- Concluir para quais condições a população pode cair abaixo de um nível útil ou chegar à extinção.
Passo 2
Encontramos os equilíbrios resolvendo
Isso ocorre se, e somente se,
Passo 3
Para estudar a estabilidade, usamos a derivada
Em
temos
logo
é equilíbrio instável (repulsor).
Em temos
Em
logo
é equilíbrio estável (atrator).
Passo 4
Análise de fase mostra que, para qualquer condição inicial
, a solução cresce e tende a
. Em particular:
- Se quisermos que a população caia abaixo de um nível útil
, a única forma neste modelo sem exploração é tomar . Mas mesmo assim aumenta e acaba ultrapassando . - A extinção
só ocorre se . Qualquer faz .
Passo 5
Para incluir o efeito de pesca (colheita constante), acrescenta-se uma taxa
e passa-se a estudar
Os equilíbrios satisfazem
O discriminante é
- Se
, então e não há equilíbrio positivo: a pesca supera o crescimento máximo e ,— extinção. - Se
, então e surgem dois equilíbrios positivos
com
.
-
é instável: se a população inicial , cai para zero. -
é estável: se , tende a .
Resposta
Sem pesca
, a população só zera se
; caso contrário tende a
.
Com pesca constante :
Com pesca constante
- Se
, não há equilíbrio positivo e a população vai à extinção. - Se
, existe um limiar . Se , a população declina até zero; se , tende a um equilíbrio positivo .