Um certo negócio cresce em um valor a uma taxa proporcional à raiz quadrada do seu valor instantâneo. Se o negócio valia Há 2 anos R$1.000.000,00, e se o valor atual for de $1.440.000,00, determinar o instante em que ele valerá
2.000 .000,00$.
Passo 1
O enunciado diz que o valor
de um negócio cresce a uma taxa proporcional à raiz quadrada do seu valor instantâneo. Em termos matemáticos, isso significa que
onde
é a constante de proporcionalidade. Temos as condições iniciais
(há 2 anos) e
(valor atual). Precisamos achar o instante
em que
.
Passo 2
Separe variáveis na equação diferencial
e integre ambos os lados:
sendo
a constante de integração.
Passo 3
Use a condição em
:
. Como
, temos
Passo 4
Agora use
. Como
, substituindo em
com
e
dá
Passo 5
Para achar
tal que
, note que
. Substituindo em
obtém-se
Resposta
O valor de
será atingido por volta de
anos a partir de agora.