Suponha que a população
de uma certa espécie de peixe ( por exemplo, atum ou linguado), numa certa área do oceano, seja descrita pela equação logística
onde
é a taxa de crescimento da população e
é a representa a quantidade de recursos disponíveis para o peixe no ambiente em que ele vive. Embora seja desejável usar essa fonte de alimentação, é intuitivamente claro que se forem apanhados muitos peixes, sua população pode ser reduzida a um nível abaixo do nível útil e até mesmo levada à extinção. Faça um estudo qualitativo desta equação e determine condições para que essa população possa chegar a esse nível abaixo do nível útil.
Passo 1
O enunciado dá a equação logística que, sem pesca, é
com soluções que crescem de
até o valor de saturação
. Para incorporar o efeito da pesca e estudar quando a população cai abaixo de um nível útil (ou entra em extinção), vamos inserir um termo de colheita constante
.
Passo 2
Com pesca constante, o modelo fica
Os pontos de equilíbrio
satisfazem
Passo 3
Reescrevendo a condição de equilíbrio, obtemos a equação quadrática
As raízes são
Passo 4
Para que as raízes sejam reais é necessário
Definimos
.
Passo 5
Analisando a função
:
- Se
, então para todo e a população decai monotonamente para (extinção). - Se
, há dois equilíbrios reais
Pelo exame do sinal de
,
é um ponto de sela (instável) e
é estável. Logo, se a população inicial
ficar abaixo de
, ela tende a
; se ficar acima de
, tende a
.
Resposta
As condições para que a população caia abaixo de um nível útil ou vá à extinção são:
- Se a taxa de pesca excede o valor crítico
- Se a taxa de pesca
não há equilíbrio positivo e a população sempre declina a zero.
- Se , existe um limiar instável
- Se
tal que, para
, a população decai a
, e só se
ela se recupera até o equilíbrio estável
.