Suponha que a população y(t) de uma certa espécie de peixe ( por exemplo, atum ou linguado), numa certa área do oceano, seja descrita pela equação logística
\frac{d y}{d t}=r y\left(1-\frac{y}{K}\right),
onde r é a taxa de crescimento da população e K é a representa a quantidade de recursos disponíveis para o peixe no ambiente em que ele vive. Embora seja desejável usar essa fonte de alimentação, é intuitivamente claro que se forem apanhados muitos peixes, sua população pode ser reduzida a um nível abaixo do nível útil e até mesmo levada à extinção. Faça um estudo qualitativo desta equação e determine condições para que essa população possa chegar a esse nível abaixo do nível útil.

Passo 1

O enunciado dá a equação logística que, sem pesca, é
\frac{dy}{dt}=r\,y\Bigl(1-\frac{y}{K}\Bigr),
com soluções que crescem de y=0 até o valor de saturação y=K. Para incorporar o efeito da pesca e estudar quando a população cai abaixo de um nível útil (ou entra em extinção), vamos inserir um termo de colheita constante H>0.

Passo 2

Com pesca constante, o modelo fica
\frac{dy}{dt}=r\,y\Bigl(1-\frac{y}{K}\Bigr)-H.
Os pontos de equilíbrio y^* satisfazem
0=r\,y^*\Bigl(1-\frac{y^*}{K}\Bigr)-H.

Passo 3

Reescrevendo a condição de equilíbrio, obtemos a equação quadrática
r\,y^*-\frac{r}{K}(y^*)^2-H=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{r}{K}(y^*)^2 -r\,y^* +H =0.
As raízes são
y^*=\frac{K}{2}\Bigl(1\pm\sqrt{\,1-\tfrac{4H}{rK}\,}\Bigr).

Passo 4

Para que as raízes sejam reais é necessário
1-\frac{4H}{rK}\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad H\le\frac{rK}{4}.
Definimos H_{\rm cr}=\tfrac{rK}{4}.

Passo 5

Analisando a função f(y)=r\,y(1-y/K)-H:
  • Se H>H_{\rm cr}, então f(y)<0 para todo y\ge0 e a população decai monotonamente para 0 (extinção).
  • Se H<H_{\rm cr}, há dois equilíbrios reais
y_1=\frac{K}{2}\Bigl(1-\sqrt{1-\tfrac{4H}{rK}}\Bigr), \quad y_2=\frac{K}{2}\Bigl(1+\sqrt{1-\tfrac{4H}{rK}}\Bigr).
Pelo exame do sinal de f(y), y_1 é um ponto de sela (instável) e y_2 é estável. Logo, se a população inicial y(0) ficar abaixo de y_1, ela tende a 0; se ficar acima de y_1, tende a y_2.

Resposta

As condições para que a população caia abaixo de um nível útil ou vá à extinção são:
- Se a taxa de pesca H excede o valor crítico
H_{\rm cr}=\frac{rK}{4},
não há equilíbrio positivo e a população sempre declina a zero.
- Se H<H_{\rm cr}, existe um limiar instável
y_1=\frac{K}{2}\Bigl(1-\sqrt{1-\tfrac{4H}{rK}}\Bigr)
tal que, para y(0)<y_1, a população decai a 0, e só se y(0)>y_1 ela se recupera até o equilíbrio estável y_2.

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