Um certo número N de dois algarismos é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. A diferença entre os dois números é o cubo de um número natural. Podemos afirmar que a soma dos algarismos de N é:
A) 7
B) 10
C) 13
D) 9
E) 11
A) 7
B) 10
C) 13
D) 9
E) 11
Passo 1
O enunciado pede para descobrir a soma dos algarismos de um número
que satisfaz três condições:
-
é um número de dois algarismos. -
é o quadrado de um número natural (ou seja, existe tal que ). - Ao inverter os algarismos de
obtém‑se um número ímpar. - A diferença entre esses dois números (o original e o invertido) é o cubo de um número natural (ou seja, igual a
para algum ).
Informações relevantes dadas:
é um quadrado perfeito de dois algarismos; o número formado pela inversão dos algarismos de
é ímpar; a diferença entre esses dois números é um cubo perfeito.
Passo 2
Vamos listar todos os quadrados perfeitos que são números de dois algarismos. Quadrados de inteiros de
a
produzem dois algarismos:
Portanto os possíveis valores de
são
Passo 3
Entendendo a condição “invertendo-se a ordem dos algarismos obtém‑se um número ímpar”: um número é ímpar quando seu algarismo das unidades é ímpar. Se eu inverto os algarismos de
, o algarismo das unidades do número invertido é igual ao algarismo das dezenas de
. Portanto a dezena de
deve ser um algarismo ímpar.
Vamos inverter cada candidato e checar se o invertido é ímpar:
Somente os casos com invertido ímpar são
(inverso
) e
(inverso
). Assim os candidatos que permanecem são
Passo 4
A condição seguinte é que a diferença entre os dois números seja o cubo de um número natural. Vamos lembrar os cubos pequenos:
Agora calculamos as diferenças (tomando o valor absoluto, já que o enunciado diz “a diferença entre os dois números”, o que normalmente se interpreta como valor positivo):
Comparando com a lista de cubos, vemos que
não é cubo perfeito, enquanto
é exatamente
.
Passo 5
Portanto o único candidato que satisfaz todas as condições é
porque sua inversão
é ímpar e a diferença
é
.
Agora calculamos a soma dos algarismos de
. Para
, a soma das dezenas e unidades é
Resposta
D)