Um certo número N de dois algarismos é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. A diferença entre os dois números é o cubo de um número natural. Podemos afirmar que a soma dos algarismos de N é:
A) 7
B) 10
C) 13
D) 9
E) 11

Passo 1

O enunciado pede para descobrir a soma dos algarismos de um número N que satisfaz três condições:
  1. N é um número de dois algarismos.
  2. N é o quadrado de um número natural (ou seja, existe k\in\mathbb{N} tal que N=k^2).
  3. Ao inverter os algarismos de N obtém‑se um número ímpar.
  4. A diferença entre esses dois números (o original e o invertido) é o cubo de um número natural (ou seja, igual a m^3 para algum m\in\mathbb{N}).
Informações relevantes dadas: N é um quadrado perfeito de dois algarismos; o número formado pela inversão dos algarismos de N é ímpar; a diferença entre esses dois números é um cubo perfeito.

Passo 2

Vamos listar todos os quadrados perfeitos que são números de dois algarismos. Quadrados de inteiros de 4 a 9 produzem dois algarismos:
4^2=16,\quad 5^2=25,\quad 6^2=36,\quad 7^2=49,\quad 8^2=64,\quad 9^2=81.
Portanto os possíveis valores de N são
16,\;25,\;36,\;49,\;64,\;81.

Passo 3

Entendendo a condição “invertendo-se a ordem dos algarismos obtém‑se um número ímpar”: um número é ímpar quando seu algarismo das unidades é ímpar. Se eu inverto os algarismos de N, o algarismo das unidades do número invertido é igual ao algarismo das dezenas de N. Portanto a dezena de N deve ser um algarismo ímpar.
Vamos inverter cada candidato e checar se o invertido é ímpar:
16 \mapsto 61 \\ (\text{ímpar}),\quad 25 \mapsto 52\\ (\text{par}),\quad 36 \mapsto 63\\ (\text{ímpar}),íí
49 \mapsto 94\\ (\text{par}),\quad 64 \mapsto 46\\ (\text{par}),\quad 81 \mapsto 18\\ (\text{par}).
Somente os casos com invertido ímpar são 16 (inverso 61) e 36 (inverso 63). Assim os candidatos que permanecem são
N=16\quad\text{com inverso}\quad 61,\qquad N=36\quad\text{com inverso}\quad 63.

Passo 4

A condição seguinte é que a diferença entre os dois números seja o cubo de um número natural. Vamos lembrar os cubos pequenos:
1^3=1,\quad 2^3=8,\quad 3^3=27,\quad 4^3=64,\quad 5^3=125\\ (\text{já maior que dois algarismos}).á
Agora calculamos as diferenças (tomando o valor absoluto, já que o enunciado diz “a diferença entre os dois números”, o que normalmente se interpreta como valor positivo):
|61-16|=45,\qquad |63-36|=27.
Comparando com a lista de cubos, vemos que 45 não é cubo perfeito, enquanto 27 é exatamente 3^3.

Passo 5

Portanto o único candidato que satisfaz todas as condições é
N=36,
porque sua inversão 63 é ímpar e a diferença |63-36|=27 é 3^3.
Agora calculamos a soma dos algarismos de N. Para N=36, a soma das dezenas e unidades é
3+6=9.

Resposta

D) 9

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