Estude a convergência/divergência, em termos do parïmetro p, de cada série dada a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede: estudar a convergência/divergência, em termos do parâmetro
, da série
Informações dadas e que vamos usar:
- O termo geral (sem sinal) é
, que é positivo para . - O sinal alterna por causa de
. - A pergunta é para quais valores de
a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Passo 2
Primeiro precisamos verificar se os termos
tendem a zero, requisito básico para qualquer convergência de série.
Considere a função com
. Faça a mudança de variável
. Então
quando
e
Considere a função
Sabemos que a exponencial
cresce muito mais rápido do que qualquer potência
; portanto
Logo
para todo
. Isto garante apenas que o termo geral tende a zero (condição necessária).
Passo 3
Para aplicar o teste de séries alternadas (mais à frente) precisamos também que
seja monótona decrescente a partir de algum índice. Vamos estudar a monotonicidade de
.
Calcule a derivada (uso da regra do produto ou quociente):
Calcule a derivada (uso da regra do produto ou quociente):
Analisando o sinal: para
tem-se
, logo
e portanto
. Assim existe um
(por exemplo
) tal que a sequência
é monotonicamente decrescente. Conclusão:
é decrescente a partir de algum termo.
Passo 4
Aplico o teste de séries alternadas (teste de Leibniz): se
é positiva, monotônica decrescente a partir de algum
e
, então a série
converge. Aqui
satisfaz essas hipóteses (ver Passos 2 e 3) para todo
. Portanto a série original
converge para todo
. Porém ainda não sabemos se a convergência é absoluta ou apenas condicional.
Passo 5
Estudo da convergência absoluta: considerar a série de termos positivos
Usarei o teste da integral (válido pois
é positiva e decrescente para
grande). Considere a integral
Faça a mudança
, então
e quando
temos
, quando
temos
. A integral vira
Agora analisamos essa integral:
- Se
, então
e ao fazer
a integral converge somente se
, isto é, se
.
- Se
, a integral é
que diverge (logaritmo que tende a infinito).
Portanto a integral converge (e pelo teste da integral a série converge absolutamente) se e somente se
. Para
a integral diverge, logo a série das normas diverge e não há convergência absoluta.
Passo 6
Juntando os resultados:
- Para todo
a série alternada converge (Passo 4). - A convergência é absoluta quando
(Passo 5). - Quando
não há convergência absoluta, logo a convergência é apenas condicional.
Resumo intuitivo (uma frase amiga): a parte alternada “salva” a convergência para todos os
, mas a soma dos valores absolutos só dá certo quando o expoente das logaritmos é suficientemente negativo (
) para forçar decaimento rápido.
Resposta
Converge absolutamente para
.
Converge condicionalmente para .
Converge condicionalmente para