Estude a convergência/divergência, em termos do parïmetro p, de cada série dada a seguir.
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(\ln n)^{p}}{n}.

Passo 1

O enunciado pede: estudar a convergência/divergência, em termos do parâmetro p, da série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(\ln n)^{p}}{n}.
Informações dadas e que vamos usar:
  • O termo geral (sem sinal) é a_n=\dfrac{(\ln n)^{p}}{n}, que é positivo para n\ge2.
  • O sinal alterna por causa de (-1)^{n-1}.
  • A pergunta é para quais valores de p a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.

Passo 2

Primeiro precisamos verificar se os termos a_n tendem a zero, requisito básico para qualquer convergência de série.
Considere a função g(x)=\dfrac{(\ln x)^{p}}{x} com x\ge2. Faça a mudança de variável t=\ln x. Então t\to\infty quando x\to\infty e
g(x)=\frac{(\ln x)^{p}}{x}=\frac{t^{p}}{e^{t}}.
Sabemos que a exponencial e^{t} cresce muito mais rápido do que qualquer potência t^{p}; portanto
\lim_{t\to\infty}\frac{t^{p}}{e^{t}}=0.
Logo
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^{p}}{n}=0
para todo p\in\mathbb{R}. Isto garante apenas que o termo geral tende a zero (condição necessária).

Passo 3

Para aplicar o teste de séries alternadas (mais à frente) precisamos também que a_n seja monótona decrescente a partir de algum índice. Vamos estudar a monotonicidade de g(x)=\dfrac{(\ln x)^{p}}{x}.
Calcule a derivada (uso da regra do produto ou quociente):
g'(x)=\frac{d}{dx}\big((\ln x)^{p} x^{-1}\big) = x^{-2}(\ln x)^{p-1}\big(p-\ln x\big).
Analisando o sinal: para x>e^{p} tem-se \ln x>p, logo p-\ln x<0 e portanto g'(x)<0. Assim existe um N (por exemplo N=\max\{ \lceil e^{p}\rceil,2\}) tal que a sequência (a_n)_{n\ge N} é monotonicamente decrescente. Conclusão: a_n é decrescente a partir de algum termo.

Passo 4

Aplico o teste de séries alternadas (teste de Leibniz): se (b_n) é positiva, monotônica decrescente a partir de algum N e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^{n} b_n converge. Aqui b_n=a_n=\dfrac{(\ln n)^{p}}{n} satisfaz essas hipóteses (ver Passos 2 e 3) para todo p. Portanto a série original
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(\ln n)^{p}}{n}
converge para todo p\in\mathbb{R}. Porém ainda não sabemos se a convergência é absoluta ou apenas condicional.

Passo 5

Estudo da convergência absoluta: considerar a série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(\ln n)^{p}}{n}.
Usarei o teste da integral (válido pois g(x)=\dfrac{(\ln x)^{p}}{x} é positiva e decrescente para x grande). Considere a integral
\int_{2}^{\infty}\frac{(\ln x)^{p}}{x}\,dx.
Faça a mudança t=\ln x, então dt=\dfrac{dx}{x} e quando x=2 temos t=\ln 2, quando x\to\infty temos t\to\infty. A integral vira
\int_{\ln 2}^{\infty} t^{p}\,dt.
Agora analisamos essa integral:
  • Se p\neq -1, então
\int_{\ln 2}^{T} t^{p}\,dt=\frac{T^{p+1}-(\ln 2)^{p+1}}{p+1},
e ao fazer T\to\infty a integral converge somente se p+1<0, isto é, se p<-1.
  • Se p=-1, a integral é
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{dt}{t},
que diverge (logaritmo que tende a infinito).
Portanto a integral converge (e pelo teste da integral a série converge absolutamente) se e somente se p<-1. Para p\ge-1 a integral diverge, logo a série das normas diverge e não há convergência absoluta.

Passo 6

Juntando os resultados:
  • Para todo p\in\mathbb{R} a série alternada converge (Passo 4).
  • A convergência é absoluta quando p<-1 (Passo 5).
  • Quando p\ge-1 não há convergência absoluta, logo a convergência é apenas condicional.
Resumo intuitivo (uma frase amiga): a parte alternada “salva” a convergência para todos os p, mas a soma dos valores absolutos só dá certo quando o expoente das logaritmos é suficientemente negativo ( p<-1) para forçar decaimento rápido.

Resposta

Converge absolutamente para p<-1.
Converge condicionalmente para p\ge-1.

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