Há 18 anos Hélio tinha precisamente três vezes a idade de seu filho. Agora tem o dobro da idade desse filho. Quantos anos têm Hélio e seu filho?
A) 72 anos e 36 anos.
B) 36 anos e 18 anos.
C) 40 anos e 20 anos.
D) 50 anos e 25 anos.
E) 38 anos e 19 anos.
A) 72 anos e 36 anos.
B) 36 anos e 18 anos.
C) 40 anos e 20 anos.
D) 50 anos e 25 anos.
E) 38 anos e 19 anos.
Passo 1
O problema pergunta: “Quantos anos têm Hélio e seu filho?” As informações dadas são:
- Há
anos Hélio tinha exatamente três vezes a idade do filho. - Agora Hélio tem o dobro da idade do filho.
Também foi fornecida uma lista de alternativas (A a E) com pares de idades para escolher.
Passo 2
Vamos traduzir as informações em variáveis e equações. Definimos:
-
= idade atual de Hélio (em anos). -
= idade atual do filho (em anos).
A partir do enunciado temos duas equações:
- “Há
anos Hélio tinha três vezes a idade do filho” vira
- “Agora tem o dobro da idade desse filho” vira
Vou explicar rapidamente o porquê dessas equações:
e
representam as idades de cada um há
anos. A igualdade “três vezes” dá a multiplicação por
. A segunda frase diz simplesmente que a idade atual de Hélio é duas vezes a do filho, por isso
.
Passo 3
Método de resolução escolhido: substituição. Por que? Porque já temos a segunda equação isolando
em função de
(
), então fica muito prático substituir
na primeira equação e resolver para
. Substituição é um método simples e direto para sistemas lineares com uma variável já isolada.
Passo 4
Substituímos
na primeira equação:
Agora desenvolvemos o lado direito (distribuímos o
):
Explicando a distribuição:
porque multiplicamos
por cada termo dentro dos parênteses.
Passo 5
Isolamos
. Primeiro, vamos passar os termos com
para um lado e os números para o outro. Subtraindo
de ambos os lados:
Isso dá
Agora somamos
em ambos os lados para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
(ou multiplicando por
):
Portanto o filho tem
anos agora.
Passo 6
Encontramos
usando
:
Logo Hélio tem
anos agora.
Passo 7
Verificação (sempre faça isso na prova): conferir se as condições do enunciado ficam satisfeitas. Há
anos: Hélio tinha
e o filho tinha
. Realmente
. E atualmente
. Tudo confere.
Resposta
A)
anos e
anos.