Há 18 anos Hélio tinha precisamente três vezes a idade de seu filho. Agora tem o dobro da idade desse filho. Quantos anos têm Hélio e seu filho?
A) 72 anos e 36 anos.
B) 36 anos e 18 anos.
C) 40 anos e 20 anos.
D) 50 anos e 25 anos.
E) 38 anos e 19 anos.

Passo 1

O problema pergunta: “Quantos anos têm Hélio e seu filho?” As informações dadas são:
  • 18 anos Hélio tinha exatamente três vezes a idade do filho.
  • Agora Hélio tem o dobro da idade do filho.
    Também foi fornecida uma lista de alternativas (A a E) com pares de idades para escolher.

Passo 2

Vamos traduzir as informações em variáveis e equações. Definimos:
  • H = idade atual de Hélio (em anos).
  • F = idade atual do filho (em anos).
A partir do enunciado temos duas equações:
  1. “Há 18 anos Hélio tinha três vezes a idade do filho” vira
H - 18 = 3\,(F - 18).
  1. “Agora tem o dobro da idade desse filho” vira
H = 2F.
Vou explicar rapidamente o porquê dessas equações: H-18 e F-18 representam as idades de cada um há 18 anos. A igualdade “três vezes” dá a multiplicação por 3. A segunda frase diz simplesmente que a idade atual de Hélio é duas vezes a do filho, por isso H=2F.

Passo 3

Método de resolução escolhido: substituição. Por que? Porque já temos a segunda equação isolando H em função de F ( H=2F), então fica muito prático substituir H na primeira equação e resolver para F. Substituição é um método simples e direto para sistemas lineares com uma variável já isolada.

Passo 4

Substituímos H=2F na primeira equação:
2F - 18 = 3\,(F - 18).
Agora desenvolvemos o lado direito (distribuímos o 3):
2F - 18 = 3F - 54.
Explicando a distribuição: 3\,(F - 18)=3F - 54 porque multiplicamos 3 por cada termo dentro dos parênteses.

Passo 5

Isolamos F. Primeiro, vamos passar os termos com F para um lado e os números para o outro. Subtraindo 3F de ambos os lados:
2F - 3F - 18 = -54.
Isso dá
- F - 18 = -54.
Agora somamos 18 em ambos os lados para isolar -F:
- F = -54 + 18 = -36.
Dividindo ambos os lados por -1 (ou multiplicando por -1):
F = 36.
Portanto o filho tem 36 anos agora.

Passo 6

Encontramos H usando H = 2F:
H = 2\cdot 36 = 72.
Logo Hélio tem 72 anos agora.

Passo 7

Verificação (sempre faça isso na prova): conferir se as condições do enunciado ficam satisfeitas. Há 18 anos: Hélio tinha 72 - 18 = 54 e o filho tinha 36 - 18 = 18. Realmente 54 = 3 \cdot 18. E atualmente 72 = 2 \cdot 36. Tudo confere.

Resposta

A) 72 anos e 36 anos.

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