Em um certo ponto de um tubo a velocidade de um líquido é 0,6 m / s e a pressão manométrica é 2,55 times 10^5 Pa. Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do tubo situado a 15 m abaixo do primeiro, se a seção transversal do segundo ponto é a metade daquela do primeiro. Considere o líquido como sendo água.

Passo 1

Então, o enunciado diz que num tubo temos água fluindo com velocidade v₁ = 0,6 m/s e pressão manométrica p₁ = 2,55×10⁵ Pa num ponto mais alto. O segundo ponto está 15 m abaixo e tem área igual à metade da do primeiro. A gente quer achar a pressão manométrica p₂ nesse segundo ponto.
Conteúdo: mecânica de fluidos (Princípio de Bernoulli e equação da continuidade)
O que precisamos:
  • Densidade da água (ρ ≃ 1000 kg/m³)
  • A equação da continuidade (A₁v₁ = A₂v₂)
  • A equação de Bernoulli

Passo 2

Primeiro, equação da continuidade serve pra relacionar velocidades quando a área muda:
A₁·v₁ = A₂·v₂
Como A₂ = A₁/2, então
v₂ = (A₁/A₂)·v₁ = 2·v₁ = 2 × 0,6 = 1,2 m/s

Passo 3

Agora usamos o Princípio de Bernoulli entre os dois pontos (ignorando perdas):
p₁ + ½·ρ·v₁² + ρ·g·z₁ = p₂ + ½·ρ·v₂² + ρ·g·z₂
Escolhemos z₁ – z₂ = 15 m (o segundo está 15 m abaixo). Reorganizando pra achar p₂:
p₂ = p₁ + tfrac12,ρ,(v₁^2 - v₂^2) + ρ,g,(z₁ - z₂),

Passo 4

Substituindo valores (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s², v₁ = 0,6 m/s, v₂ = 1,2 m/s, z₁ – z₂ = 15 m):
p₂ = 2,55×10^5 + tfrac12·1000·(0,6^2 - 1,2^2) + 1000·9,81·15
Calculemos cada termo:
  • ½·1000·(0,36 − 1,44) = 500·(−1,08) = −540 Pa
  • 1000·9,81·15 = 1 471 500 Pa
    Então
    p₂ = 255 000 − 540 + 1 471 500 = 1 725 960 Pa

Resposta

A pressão manométrica no segundo ponto é aproximadamente 1,73×10⁶ Pa.

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