Um certo reator nuclear é alimentado com 1.500 kg de varetas de urânio enriquecidas a 20 \% de U-235. O restante é U-238. A densidade do urânio é 19,1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
(a) Quanto de U-235 está no reator?
(b) Quais são as densidades atômicas de U-235 e U-238 nas varetas?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas:
(a) Quanto de U-235 (massa) está nas varetas?
(b) Quais são as densidades atômicas de U-235 e U-238 nas varetas (átomos por cm³)?
Dados fornecidos pelo enunciado:
\text{massa total de varetas} = 1500\\ \mathrm{kg}
\text{enriquecimento em U-235} = 20\%
\text{o restante é U-238}é
\text{densidade do urânio (metal)} = 19{,}1\\ \mathrm{g/cm^3}â
Observação: vou interpretar o enriquecimento de 20\% como fração em massa (isto é o usual: 20\% da massa total é U-235).

Passo 2

Primeiro vamos calcular a massa de U-235 no reator. A regra é simples: a massa de U-235 é a fração de massa multiplicada pela massa total.
Usamos:
m_{235} = 0{,}20 \times 1500\\ \mathrm{kg}
Agora calculamos:
m_{235} = 300\\ \mathrm{kg}.
Para trabalhar com densidades em \mathrm{g/cm^3} é conveniente também escrever essa massa em gramas:
m_{235} = 300\\ \mathrm{kg} = 3{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Agora vamos obter as densidades atômicas. Conceito e fórmula:
  • A densidade atômica n (átomos por cm³) é o número de átomos presentes em uma unidade de volume.
  • Para um elemento puro (ou um isótopo puros nos nossos cálculos por fração de massa) a relação é:
n = \frac{\rho}{M}\,N_A,
onde:
\rho é a densidade de massa do isótopo em \mathrm{g/cm^3},
M é a massa molar do isótopo em \mathrm{g/mol},
N_A é a constante de Avogadro \displaystyle N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Explicando: \rho/M dá o número de mols por cm³, e multiplicando por N_A obtemos o número de átomos por cm³.

Passo 4

Precisamos da densidade de massa de cada isótopo dentro do metal (fração da densidade total):
\rho_{235} = 0{,}20 \times 19{,}1\\ \mathrm{g/cm^3} = 3{,}82\\ \mathrm{g/cm^3},
\rho_{238} = 0{,}80 \times 19{,}1\\ \mathrm{g/cm^3} = 15{,}28\\ \mathrm{g/cm^3}.
Usaremos as massas molares aproximadas M_{235}=235\\ \mathrm{g/mol} e M_{238}=238\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 5

Cálculo da densidade atômica de U-235. Aplicando a fórmula:
n_{235} = \frac{\rho_{235}}{M_{235}}\,N_A = \frac{3{,}82\\ \mathrm{g/cm^3}}{235\\ \mathrm{g/mol}}\times 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Faço a conta por etapas:
\frac{3{,}82}{235} \approx 0{,}0162553\\ \mathrm{mol/cm^3},
n_{235} \approx 0{,}0162553 \times 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{átomos/cm^3} \approx 9{,}79\times10^{21}\\ \mathrm{átomos/cm^3}.áá

Passo 6

Cálculo da densidade atômica de U-238. Aplicando a mesma fórmula:
n_{238} = \frac{\rho_{238}}{M_{238}}\,N_A = \frac{15{,}28\\ \mathrm{g/cm^3}}{238\\ \mathrm{g/mol}}\times 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Etapas:
\frac{15{,}28}{238} \approx 0{,}0642017\\ \mathrm{mol/cm^3},
n_{238} \approx 0{,}0642017 \times 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{átomos/cm^3} \approx 3{,}87\times10^{22}\\ \mathrm{átomos/cm^3}.áá

Passo 7

Cheque rápido de consistência: somando n_{235}+n_{238} obtemos aproximadamente 4{,}85\times10^{22}\\ \mathrm{átomos/cm^3}á, que é compatível com o esperado para metal de urânio (densidade atômica da ordem de 10^{22}\\ \mathrm{átomos/cm^3}á). Então os valores fazem sentido.

Resposta

(a) 300\\ \mathrm{kg} \;=\;3{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{g}\n
(b) n_{235}=9{,}79\times10^{21}\\ \mathrm{átomos/cm^3}á \;,\; n_{238}=3{,}87\times10^{22}\\ \mathrm{átomos/cm^3}á

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