Um pequeno peixe tropical está no centro de um aquário esférico com diâmetro de
e totalmente preenchido de água. (a) Determine a posição aparente do peixe em relação a um observador na parte externa do aquário. Despreze os efeitos da fina parede do aquário.
Passo 1
Dados do enunciado e o que se pede:\n
- O aquário é uma esfera com diâmetro
. Portanto o raio é .\n - O aquário está totalmente preenchido de água e a espessura da parede é desprezível (logo podemos considerar só a interface água–ar).\n
- O peixe está no centro da esfera (posição real: centro da esfera).\n
- Observador está fora do aquário, no ar, olhando para o peixe através da superfície esférica.\n
Pergunta: determinar a posição aparente do peixe vista pelo observador externo (ou seja, onde os raios que chegam ao observador parecem convergir, o “localização da imagem” do peixe).
Passo 2
Conceitos físicos fundamentais (explicação didática e intuitiva): refração e lei de Snell\n
- Quando a luz passa de um meio com índice de refração
para outro com índice , os ângulos de incidência e refração medidos em relação à normal obedecem à lei de Snell:
Aqui
é o ângulo entre o raio incidente e a normal à superfície no ponto de incidência, e
é o ângulo entre o raio refratado e a mesma normal.\n
- Se o raio incide exatamente sobre a normal (
), então e, pela lei de Snell, , isto é, . Em palavras: um raio que incide perpendicularmente à superfície não é desviado (não “muda de direção”) ao passar de um meio para outro.\n - No caso de uma superfície esférica, a normal em cada ponto da superfície passa pelo centro da esfera. Isso é uma propriedade geométrica: a reta do centro ao ponto da superfície é perpendicular à superfície esférica naquele ponto.
Passo 3
Aplicando a ideia ao problema: trajetórias dos raios que partem do peixe\n
- Escolha qualquer direção de observação: o raio de luz que sai do peixe (que está no centro) e atinge a superfície esférica segue uma reta que vai do centro até um ponto da superfície. Essa reta é exatamente a normal à superfície naquele ponto (porque, como dito, a normal passa pelo centro).\n
- Logo, para qualquer raio que sai do peixe e alcança a superfície, o ângulo de incidência é
.\n - Use a lei de Snell com
e , mas como temos
- Conclusão física: cada raio que sai do peixe e atinge a superfície o faz perpendicularmente, portanto NÃO é desviado ao passar da água para o ar. O raio emergente continua na mesma direção radial, sem mudar de rumo.
Passo 4
Interpretação geométrica e conclusão sobre a imagem aparente\n
- Como todos os raios que saem do peixe e chegam ao observador externo seguem retas radiando a partir do centro e não são desviados na passagem pela superfície, os raios que o observador recebe são exatamente como se tivessem vindo da posição real do peixe.\n
- Em termos de formação de imagem: a imagem aparente do peixe, determinada pela interseção das linhas de prolongamento dos raios refratados vista pelo observador, coincide com a posição real do peixe.\n
- Portanto, o peixe aparenta estar no mesmo lugar em que realmente está: no centro da esfera.
Resposta
O peixe aparenta estar no centro do aquário; isto é, localizado a
do centro/superfície interna (raio do aquário).