Um pequeno peixe tropical está no centro de um aquário esférico com diâmetro de 28,0 \mathrm{~cm} e totalmente preenchido de água. (a) Determine a posição aparente do peixe em relação a um observador na parte externa do aquário. Despreze os efeitos da fina parede do aquário.

Passo 1

Dados do enunciado e o que se pede:\n
  • O aquário é uma esfera com diâmetro 28{,}0\\ \mathrm{cm}. Portanto o raio é R=14{,}0\\ \mathrm{cm}.\n
  • O aquário está totalmente preenchido de água e a espessura da parede é desprezível (logo podemos considerar só a interface água–ar).\n
  • O peixe está no centro da esfera (posição real: centro da esfera).\n
  • Observador está fora do aquário, no ar, olhando para o peixe através da superfície esférica.\n
    Pergunta: determinar a posição aparente do peixe vista pelo observador externo (ou seja, onde os raios que chegam ao observador parecem convergir, o “localização da imagem” do peixe).

Passo 2

Conceitos físicos fundamentais (explicação didática e intuitiva): refração e lei de Snell\n
  • Quando a luz passa de um meio com índice de refração n_1 para outro com índice n_2, os ângulos de incidência e refração medidos em relação à normal obedecem à lei de Snell:
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2.
Aqui \theta_1 é o ângulo entre o raio incidente e a normal à superfície no ponto de incidência, e \theta_2 é o ângulo entre o raio refratado e a mesma normal.\n
  • Se o raio incide exatamente sobre a normal ( \theta_1=0), então \sin\theta_1=0 e, pela lei de Snell, \sin\theta_2=0, isto é, \theta_2=0. Em palavras: um raio que incide perpendicularmente à superfície não é desviado (não “muda de direção”) ao passar de um meio para outro.\n
  • No caso de uma superfície esférica, a normal em cada ponto da superfície passa pelo centro da esfera. Isso é uma propriedade geométrica: a reta do centro ao ponto da superfície é perpendicular à superfície esférica naquele ponto.

Passo 3

Aplicando a ideia ao problema: trajetórias dos raios que partem do peixe\n
  • Escolha qualquer direção de observação: o raio de luz que sai do peixe (que está no centro) e atinge a superfície esférica segue uma reta que vai do centro até um ponto da superfície. Essa reta é exatamente a normal à superfície naquele ponto (porque, como dito, a normal passa pelo centro).\n
  • Logo, para qualquer raio que sai do peixe e alcança a superfície, o ângulo de incidência é \theta_1=0.\n
  • Use a lei de Snell com n_{\text{água}}=1{,}33á e n_{\text{ar}}=1{,}00, mas como \sin\theta_1=0 temos
1{,}33\cdot 0 = 1{,}00\cdot \sin\theta_2 \quad\Rightarrow\quad \sin\theta_2=0 \quad\Rightarrow\quad \theta_2=0.
  • Conclusão física: cada raio que sai do peixe e atinge a superfície o faz perpendicularmente, portanto NÃO é desviado ao passar da água para o ar. O raio emergente continua na mesma direção radial, sem mudar de rumo.

Passo 4

Interpretação geométrica e conclusão sobre a imagem aparente\n
  • Como todos os raios que saem do peixe e chegam ao observador externo seguem retas radiando a partir do centro e não são desviados na passagem pela superfície, os raios que o observador recebe são exatamente como se tivessem vindo da posição real do peixe.\n
  • Em termos de formação de imagem: a imagem aparente do peixe, determinada pela interseção das linhas de prolongamento dos raios refratados vista pelo observador, coincide com a posição real do peixe.\n
  • Portanto, o peixe aparenta estar no mesmo lugar em que realmente está: no centro da esfera.

Resposta

O peixe aparenta estar no centro do aquário; isto é, localizado a 14{,}0\\ \mathrm{cm} do centro/superfície interna (raio do aquário).

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