Q13.11 Um pêndulo simples é montado em um elevador. O que acontece com o período do movimento (aumenta, diminui ou permanece constante) se o elevador
está descendo com aceleração igual a 9,8 \mathrm{~m} /\mathrm{s}^{2}. Justifique suas respostas.

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece com o período do pêndulo quando o elevador está descendo com aceleração igual a 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Dados fornecidos e o que é pedido:
  • O pêndulo simples tem comprimento \,L (não é dado numericamente, fica simbólico).
  • A aceleração da gravidade no referencial inercial é \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor usual na Terra).
  • O elevador desce com aceleração \,a=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (mesma magnitude de g, sentido para baixo).
  • Pergunta: o período do movimento do pêndulo aumenta, diminui ou permanece constante? Justifique.

Passo 2

Conceito-chave: ao trabalhar no referencial do elevador (um referencial não inercial, que acelera para baixo), devemos introduzir uma força pseudo (ou inercial) para escrever as equações de Newton naquele referencial. A pseudo-força tem módulo m a e sentido oposto à aceleração do referencial. Aqui o elevador acelera para baixo, então a pseudo-força atua para cima.
Portanto, as forças efetivas que atuam sobre o pêndulo, na direção vertical, combinam a gravidade e a pseudo-força. A resultante “gravidade efetiva” que determina o torque restaurador é
g_{\text{ef}}=g-a.
Expliquei: g é a aceleração gravitacional real para baixo; a pseudo-força efetivamente reduz a aceleração gravitacional sentida no interior do elevador quando a aponta para baixo.

Passo 3

Agora derivamos a equação do movimento angular do pêndulo para pequenas oscilações. Considere o pêndulo de massa m preso por um fio de comprimento L. Para um pequeno deslocamento angular \theta (medido a partir da vertical), o torque restaurador devido ao “peso efetivo” é aproximadamente
\tau \approx -m g_{\text{ef}} L \sin\theta.
Para pequenas oscilações usamos a aproximação de pequeno ângulo:
\sin\theta \approx \theta,
porque para \theta pequeno (em radianos) a diferença entre \sin\theta e \theta é muito pequena e permite linearizar a equação. O momento de inércia do ponto de massa em relação ao pivô é
I = m L^{2}.
A segunda lei de Newton rotacional no referencial do elevador dá
I\,\ddot{\theta}=\tau \quad\Rightarrow\quad mL^{2}\ddot{\theta} \approx -m g_{\text{ef}} L \theta.
Cancelando m e um L obtemos a equação diferencial linear
\ddot{\theta} + \frac{g_{\text{ef}}}{L}\,\theta = 0.
Esta é a equação do oscilador harmônico simples com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{g_{\text{ef}}}{L}}.
O período T é então
T = \frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{ef}}}}.
Aqui \,L é o comprimento do fio e \,g_{\text{ef}}=g-a é a aceleração gravitacional efetiva dentro do elevador.

Passo 4

Agora substituímos o valor dado da aceleração do elevador: a=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Então
g_{\text{ef}}=g-a=9{,}8-9{,}8=0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Colocando isso na expressão do período obtemos
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{ef}}}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{0}}.
Essa expressão indica que T tende ao infinito: a frequência \omega=\sqrt{g_{\text{ef}}/L} fica igual a zero, não há oscilação harmônica.

Passo 5

Interpretação física e conclusão: quando a=g para baixo, o elevador e tudo dentro dele estão em queda livre; não há aceleração efetiva para baixo em relação ao elevador, ou seja, não existe força restauradora causada pelo “peso” para trazer a massa de volta à posição de equilíbrio. O fio fica sem tensão (ou com tensão muito pequena dependendo de detalhes), o pêndulo entra em regime de microgravidade e não oscila como pêndulo simples. Portanto o período não é apenas maior: a fórmula tradicional perde sentido porque não há movimento harmônico periódico — o período tende para infinito.

Resposta

Aumenta — torna-se infinito (não há oscilações), pois g_{\text{ef}}=g-a=0.

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