Q13.11 Um pêndulo simples é montado em um elevador. O que acontece com o período do movimento (aumenta, diminui ou permanece constante) se o elevador
está descendo com aceleração igual a
. Justifique suas respostas.
está descendo com aceleração igual a
Passo 1
O enunciado pergunta o que acontece com o período do pêndulo quando o elevador está descendo com aceleração igual a
.
Dados fornecidos e o que é pedido:
Dados fornecidos e o que é pedido:
- O pêndulo simples tem comprimento
(não é dado numericamente, fica simbólico). - A aceleração da gravidade no referencial inercial é
(valor usual na Terra). - O elevador desce com aceleração
(mesma magnitude de , sentido para baixo). - Pergunta: o período do movimento do pêndulo aumenta, diminui ou permanece constante? Justifique.
Passo 2
Conceito-chave: ao trabalhar no referencial do elevador (um referencial não inercial, que acelera para baixo), devemos introduzir uma força pseudo (ou inercial) para escrever as equações de Newton naquele referencial. A pseudo-força tem módulo
e sentido oposto à aceleração do referencial. Aqui o elevador acelera para baixo, então a pseudo-força atua para cima.
Portanto, as forças efetivas que atuam sobre o pêndulo, na direção vertical, combinam a gravidade e a pseudo-força. A resultante “gravidade efetiva” que determina o torque restaurador é
Expliquei:
é a aceleração gravitacional real para baixo; a pseudo-força efetivamente reduz a aceleração gravitacional sentida no interior do elevador quando
aponta para baixo.
Passo 3
Agora derivamos a equação do movimento angular do pêndulo para pequenas oscilações. Considere o pêndulo de massa
preso por um fio de comprimento
. Para um pequeno deslocamento angular
(medido a partir da vertical), o torque restaurador devido ao “peso efetivo” é aproximadamente
Para pequenas oscilações usamos a aproximação de pequeno ângulo:
porque para
pequeno (em radianos) a diferença entre
e
é muito pequena e permite linearizar a equação. O momento de inércia do ponto de massa em relação ao pivô é
A segunda lei de Newton rotacional no referencial do elevador dá
Cancelando
e um
obtemos a equação diferencial linear
Esta é a equação do oscilador harmônico simples com frequência angular
O período
é então
Aqui
é o comprimento do fio e
é a aceleração gravitacional efetiva dentro do elevador.
Passo 4
Agora substituímos o valor dado da aceleração do elevador:
e
. Então
Colocando isso na expressão do período obtemos
Essa expressão indica que
tende ao infinito: a frequência
fica igual a zero, não há oscilação harmônica.
Passo 5
Interpretação física e conclusão: quando
para baixo, o elevador e tudo dentro dele estão em queda livre; não há aceleração efetiva para baixo em relação ao elevador, ou seja, não existe força restauradora causada pelo “peso” para trazer a massa de volta à posição de equilíbrio. O fio fica sem tensão (ou com tensão muito pequena dependendo de detalhes), o pêndulo entra em regime de microgravidade e não oscila como pêndulo simples. Portanto o período não é apenas maior: a fórmula tradicional perde sentido porque não há movimento harmônico periódico — o período tende para infinito.
Resposta
Aumenta — torna-se infinito (não há oscilações), pois
.