Um foguete com massa inicial
, precisa usar seus motores para planar sobre o solo na Terra.
a) Se ele consegue queimar no máximo uma porcentagem
da massa total (
), com que empuxo máximo ele consegue planar?
b) Sendo a velocidade de exaustão dos gases
e
, qual o tempo que ele consegue planar?
Considere a velocidade de exaustão como constante.
(Dica: faça o empuxo igual ao peso e integre a equação de separação de massa.)
a) Se ele consegue queimar no máximo uma porcentagem
b) Sendo a velocidade de exaustão dos gases
Considere a velocidade de exaustão como constante.
(Dica: faça o empuxo igual ao peso e integre a equação de separação de massa.)
Passo 1
O enunciado dá uma massa inicial
) do foguete e diz que ele pode queimar no máximo uma fração
) da massa total, com
. Pede duas coisas:
- (a) “com que empuxo máximo ele consegue planar?” — ou seja, qual o empuxo máximo necessário para que o foguete consiga planar (ficar parado no ar) usando seus motores.
- (b) Sendo a velocidade de exaustão dos gases
) e dada uma quantidade
) (isso aparece no enunciado), qual o tempo durante o qual ele consegue planar, assumindo velocidade de exaustão constante.
Informações relevantes listadas: ), ), ) (velocidade de exaustão). O enunciado sugere igualar empuxo ao peso e integrar a equação de separação de massa.
Passo 2
Conceito físico essencial — empuxo e equação de massa:
- O empuxo (força de reação dos gases) para um motor de foguete com velocidade de exaustão constante
e taxa de escoamento de massa (nota: porque a massa do foguete diminui) é dado por
Aqui
) é o empuxo (em N),
) é a velocidade de exaustão (em m/s) e
) é a taxa positiva de massa expelida (em kg/s). Expliquei isso porque muitos se confundem com o sinal:
é a derivada da massa do foguete, negativa quando perde massa, então usamos
para ter a taxa positiva de combustível expelido.
- Para planar (hover), o empuxo deve igualar o peso instantâneo:
onde
é a massa total do foguete no instante
e
é a aceleração da gravidade (
).
Passo 3
Relacionando as duas expressões de empuxo:
Rearranjando para obter uma equação diferencial para
:
Isto é uma equação diferencial linear simples de primeira ordem, separável. Interpretação: para manter o empuxo igual ao peso, a taxa de perda de massa deve ser proporcional à massa instantânea.
Passo 4
Resolver por separação de variáveis. Escrevo
e separo:
Integro ambos os lados. Os limites naturais são: em
a massa é
; quando o combustível disponível termina (queimou a fração
), a massa final é
Integro de
até
e de
até
:
Passo 5
Calculo das integrais:
Isolando
e substituindo
:
Essa é a expressão do tempo durante o qual, mantendo o empuxo exatamente igual ao peso, o foguete consegue planar até esgotar a fração
da massa.
Passo 6
Resposta à parte (a): empuxo necessário para planar — instante a instante:
- Durante o hover o empuxo requerido é
. O máximo deste empuxo, no começo quando a massa é maior, é
Explicação intuitiva: enquanto o foguete consome massa, o peso diminui, então o empuxo exigido para planar diminui; o valor máximo exigido é o peso inicial.
Observação sobre
do enunciado: se
representa uma taxa máxima de escoamento de massa (isto é,
é um limite para
), então o motor só consegue gerar empuxo máximo
Nesse caso é necessário checar a condição de viabilidade do hover no instante inicial:
Se essa desigualdade não for satisfeita, o motor não consegue produzir o empuxo exigido para planar desde o início. Como no enunciado aparece
mas
não foi numérico, só podemos escrever essa condição em termos de
.
Passo 7
Aplicando valores para (b): com
e
, a expressão do tempo fica
Se quiser um valor numérico multiplicador:
logo
Repare que essa expressão não usa
: ela assume que o motor pode ajustar a vazão de massa livremente para manter
. Se houver um limite fixo
de vazão, é preciso checar se a condição
é satisfeita; caso contrário o hover inicial é impossível.
Resposta
(a)
(b)
(b)