Um foguete com massa inicial \mathbf{m}_{\mathbf{0}}, precisa usar seus motores para planar sobre o solo na Terra.
a) Se ele consegue queimar no máximo uma porcentagem \boldsymbol{\alpha} da massa total ( 0<\alpha<1 ), com que empuxo máximo ele consegue planar?
b) Sendo a velocidade de exaustão dos gases \mathbf{3 0 0 0 ~ m} / \mathbf{s} e \boldsymbol{\mu}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{0 , 1}, qual o tempo que ele consegue planar?
Considere a velocidade de exaustão como constante.
(Dica: faça o empuxo igual ao peso e integre a equação de separação de massa.)

Passo 1

O enunciado dá uma massa inicial \(m_0) do foguete e diz que ele pode queimar no máximo uma fração \(\alpha) da massa total, com 0<\alpha<1. Pede duas coisas:
  1. (a) “com que empuxo máximo ele consegue planar?” — ou seja, qual o empuxo máximo necessário para que o foguete consiga planar (ficar parado no ar) usando seus motores.
  2. (b) Sendo a velocidade de exaustão dos gases \(3000\\ \mathrm{m/s}) e dada uma quantidade \(\mu = A\cdot 0,1) (isso aparece no enunciado), qual o tempo durante o qual ele consegue planar, assumindo velocidade de exaustão constante.
    Informações relevantes listadas: \(m_0), \(\alpha), \(u=3000\\ \mathrm{m/s}) (velocidade de exaustão). O enunciado sugere igualar empuxo ao peso e integrar a equação de separação de massa.

Passo 2

Conceito físico essencial — empuxo e equação de massa:
  • O empuxo (força de reação dos gases) para um motor de foguete com velocidade de exaustão constante u e taxa de escoamento de massa \dot m (nota: \dot m<0 porque a massa do foguete diminui) é dado por
T = u\;(-\dot m).
Aqui \(T) é o empuxo (em N), \(u) é a velocidade de exaustão (em m/s) e \(-\dot m) é a taxa positiva de massa expelida (em kg/s). Expliquei isso porque muitos se confundem com o sinal: \dot m é a derivada da massa do foguete, negativa quando perde massa, então usamos -\dot m para ter a taxa positiva de combustível expelido.
  • Para planar (hover), o empuxo deve igualar o peso instantâneo:
T(t) = m(t)\,g,
onde m(t) é a massa total do foguete no instante t e g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).

Passo 3

Relacionando as duas expressões de empuxo:
u\;(-\dot m) = m(t)\,g.
Rearranjando para obter uma equação diferencial para m(t):
\dot m = -\frac{g}{u}\,m(t).
Isto é uma equação diferencial linear simples de primeira ordem, separável. Interpretação: para manter o empuxo igual ao peso, a taxa de perda de massa deve ser proporcional à massa instantânea.

Passo 4

Resolver por separação de variáveis. Escrevo \dot m = \dfrac{dm}{dt} e separo:
\frac{1}{m}\,dm = -\frac{g}{u}\,dt.
Integro ambos os lados. Os limites naturais são: em t=0 a massa é m(0)=m_0; quando o combustível disponível termina (queimou a fração \alpha), a massa final é
m_f = (1-\alpha)\,m_0.
Integro de m_0 até m_f e de 0 até t:
\int_{m_0}^{m_f}\frac{1}{m}\,dm = -\frac{g}{u}\int_{0}^{t} dt.

Passo 5

Calculo das integrais:
\ln\!\left(\frac{m_f}{m_0}\right) = -\frac{g}{u}\,t.
Isolando t e substituindo m_f=(1-\alpha)m_0:
\ln(1-\alpha) = -\frac{g}{u}\,t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{u}{g}\,\ln\!\left(\frac{1}{1-\alpha}\right).
Essa é a expressão do tempo durante o qual, mantendo o empuxo exatamente igual ao peso, o foguete consegue planar até esgotar a fração \alpha da massa.

Passo 6

Resposta à parte (a): empuxo necessário para planar — instante a instante:
  • Durante o hover o empuxo requerido é T(t)=m(t)\,g. O máximo deste empuxo, no começo quando a massa é maior, é
T_{\max}=m_0\,g.
Explicação intuitiva: enquanto o foguete consome massa, o peso diminui, então o empuxo exigido para planar diminui; o valor máximo exigido é o peso inicial.
Observação sobre \mu do enunciado: se \mu representa uma taxa máxima de escoamento de massa (isto é, \mu é um limite para -\dot m), então o motor só consegue gerar empuxo máximo
T_{\text{motor,max}} = u\,\mu.
Nesse caso é necessário checar a condição de viabilidade do hover no instante inicial:
u\,\mu \ge m_0 g.
Se essa desigualdade não for satisfeita, o motor não consegue produzir o empuxo exigido para planar desde o início. Como no enunciado aparece \mu = A\cdot 0,1 mas A não foi numérico, só podemos escrever essa condição em termos de A.

Passo 7

Aplicando valores para (b): com u=3000\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, a expressão do tempo fica
t=\frac{3000}{9{,}81}\,\ln\!\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)\\ \mathrm{s}.
Se quiser um valor numérico multiplicador:
\frac{3000}{9{,}81}\approx 305{,}81\\ \mathrm{s},
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t\approx 305{,}81\;\ln\!\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)\\ \mathrm{s}.
Repare que essa expressão não usa \mu: ela assume que o motor pode ajustar a vazão de massa livremente para manter T=m(t)g. Se houver um limite fixo \mu de vazão, é preciso checar se a condição u\mu\ge m_0 g é satisfeita; caso contrário o hover inicial é impossível.

Resposta

(a) T_{\max}=m_0\,g.
(b) t=\dfrac{3000}{9{,}81}\,\ln\!\left(\dfrac{1}{1-\alpha}\right)\\ \mathrm{s}\\ \approx 305{,}81\;\ln\!\left(\dfrac{1}{1-\alpha}\right)\\ \mathrm{s}.

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