Um certo sistema oscilatório obedece à equação
.
(a) Considere
, e
. Determine
para este oscilador.
(b) Determine o coeficiente de amortecimento
para que a frequência angular seja igual à metade da frequência angular que este mesmo oscilador teria se não houvesse amortecimento.
(a) Considere
(b) Determine o coeficiente de amortecimento
Passo 1
Beleza, vamos resolver um oscilador que obedece
Isso é conteúdo de equações diferenciais de 2º grau com coeficientes constantes. A ideia é:
- montar a equação característica;
- achar as raízes;
- escrever a solução geral;
- usar as condições iniciais.
Parte (a) pede solução para, com e .
Parte (b) quer otal que a frequência amortecida seja metade da natural sem amortecimento.
Passo 2
Primeiro, a equação característica é
Para
fica
Quando a raiz é dupla a solução geral é
Passo 3
Agora usamos as condições iniciais.
-
dá
- Derivando
:
Em
,
. Como isso vale
, temos
Então para
Passo 4
Na parte (b) a frequência natural sem amortecimento é
. A frequência amortecida (quando
) é
Queremos
. Então