Um certo sistema oscilatório obedece à equação ddotx+b dotx+x=0.
(a) Considere b=2, x(0)=10, e dotx(0)=-15. Determine x(t) para este oscilador.
(b) Determine o coeficiente de amortecimento b para que a frequência angular seja igual à metade da frequência angular que este mesmo oscilador teria se não houvesse amortecimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um oscilador que obedece
ddot x + b,dot x + x = 0
Isso é conteúdo de equações diferenciais de 2º grau com coeficientes constantes. A ideia é:
  1. montar a equação característica;
  2. achar as raízes;
  3. escrever a solução geral;
  4. usar as condições iniciais.
    Parte (a) pede solução para , com e .
    Parte (b) quer o tal que a frequência amortecida seja metade da natural sem amortecimento.

Passo 2

Primeiro, a equação característica é
r^2 + b,r + 1 = 0
Para r^2 + 2r + 1 = 0 Longrightarrow (r+1)^2 = 0 Longrightarrow r = -1 (dupla) fica
x(t) = A,e^-t + B,t,e^-t
Quando a raiz é dupla a solução geral é

Passo 3

Agora usamos as condições iniciais.
  1. x(0) = Acdot1 + Bcdot0 = A = 10
dot x(t) = A,( -e^-t ) + B,(e^-t - t e^-t) = e^-t(-A + B - B,t)
  1. Derivando -10 + B = -15 Longrightarrow B = -5 :
x(t) = l(10 - 5tr),e^-t
Em , . Como isso vale , temos
Então para

Passo 4

Na parte (b) a frequência natural sem amortecimento é omegad = raizomega0^2 - l(tfracb2r)^2 = raiz1 - tfracb^24 . A frequência amortecida (quando raiz1 - tfracb^24 = tfrac12 Longrightarrow 1 - tfracb^24 = tfrac14 Longrightarrow tfracb^24 = tfrac34 Longrightarrow b^2 = 3 Longrightarrow b = raiz3 ) é
Queremos . Então

Resposta

para , e o amortecedor tal que é .

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