Considere uma partícula de massa
sob a ação de uma força
.
(a) Calcule o período de oscilação, T.
(b) Determine a posição da partícula em
, para o caso em que
.
(a) Calcule o período de oscilação, T.
(b) Determine a posição da partícula em
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa
sujeita a uma força
Isso cai direitinho na matéria de “equação diferencial de 2ª ordem para oscilador massa-mola com amortecimento”.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Aplicar a 2ª lei de Newton (
). - Reconhecer que é um amortecimento do tipo subamortecido.
- Resolver a EDO linear homogênea com coeficientes constantes.
- Usar condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, escreve o movimento:
já que
. Essa é nossa equação diferencial de 2ª ordem.
Passo 3
Agora, lembra que, para um oscilador amortecido, a equação genérica é
Comparando:
O regime é subamortecido se
. Aqui
e
, então
: subamortecido.
Passo 4
Em subamortecimento, a frequência angular efetiva é
O período de oscilação é
Passo 5
A solução geral do caso subamortecido é
Passo 6
Agora usa as condições iniciais:
Para
, calcula a derivada:
Em
:
Como
, vem
Passo 7
Queremos
. Então
Calculando por partes:
– .
– ,
.
Logo o colchete fica
–
–
Logo o colchete fica
Portanto
Resposta
(a)
.
(b)
(b)