Considere uma partícula de massa m=1 sob a ação de uma força F=-6 dotx-12 x.
(a) Calcule o período de oscilação, T.
(b) Determine a posição da partícula em t=pi /(3 raiz3), para o caso em que x(0)=-1 / 2 e dotx(0)=-1.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa F = -6,dot x ;-;12,x sujeita a uma força
Isso cai direitinho na matéria de “equação diferencial de 2ª ordem para oscilador massa-mola com amortecimento”.
O que vamos precisar:
  1. Aplicar a 2ª lei de Newton ( ).
  2. Reconhecer que é um amortecimento do tipo subamortecido.
  3. Resolver a EDO linear homogênea com coeficientes constantes.
  4. Usar condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, escreve o movimento:
m,ddot x = -6,dot x -12,x Longrightarrow ddot x +6,dot x +12,x = 0,
já que . Essa é nossa equação diferencial de 2ª ordem.

Passo 3

Agora, lembra que, para um oscilador amortecido, a equação genérica é
ddot x +2gamma,dot x +omega0^2,x = 0
Comparando:
2gamma = 6 ;Longrightarrow; gamma = 3, omega0^2 = 12 ;Longrightarrow; omega0 = raiz12=2raiz3
O regime é subamortecido se . Aqui e , então : subamortecido.

Passo 4

Em subamortecimento, a frequência angular efetiva é
omegad = raizomega0^2 - gamma^2 = raiz12 - 9 = raiz3
O período de oscilação é
T = 2piomegad = 2piraiz3

Passo 5

A solução geral do caso subamortecido é
x(t) = e^-gamma tl(C1cos(omegad t)+C2sin(omegad t)r) = e^-3tl(C1cos(raiz3,t)+C2sin(raiz3,t)r)

Passo 6

Agora usa as condições iniciais:
x(0)=-tfrac12 Longrightarrow C1 = -tfrac12
Para dot x(t) = -3e^-3t(C1cos!raiz3 t + C2sin!raiz3 t) + e^-3t(-C1raiz3sin!raiz3 t + C2raiz3cos!raiz3 t) , calcula a derivada:
dot x(0) = -3C1 + raiz3,C2 = -1
Em -3l(-tfrac12r) + raiz3,C2 = -1 ;Longrightarrow; 32 + raiz3,C2 = -1 ;Longrightarrow; C2 = -52raiz3 :
Como , vem

Passo 7

Queremos xl(tfracpi3raiz3r) = e^-3(pi/(3raiz3))!l[ (-tfrac12)cos(tfracpi3) -tfrac52raiz3,sin(tfracpi3) r] . Então
-tfrac12cdottfrac12 ;-;tfrac52raiz3cdottfracraiz32 = -tfrac14 -tfrac54 = -tfrac64 = -tfrac32
Calculando por partes:
xl(tfracpi3raiz3r) = -tfrac32,e^-pi/raiz3 .
, .
Logo o colchete fica
Portanto

Resposta

(a) .
(b)

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