A equação do movimento de um oscilador harmônico amortecido é
, onde
é uma constante.
(a) Considere
e
. Determine
para este oscilador.
(b) Calcule qual deve ser o valor de
para que o oscilador possua uma frequência angular igual à um terço da frequência angular que este mesmo oscilador teria se não houvesse amortecimento.
(a) Considere
(b) Calcule qual deve ser o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre a equação de um oscilador harmônico amortecido
(a) pede para, com
e condições iniciais
,
, achar
.
(b) quer o valor de tal que a frequência angular amortecida seja um terço da que teríamos sem amortecimento.
Conteúdo: EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, solução via equação característica, caso crítico (a) e relação entre frequência natural e frequência amortecida
(b).
(b) quer o valor de
Conteúdo: EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, solução via equação característica, caso crítico (a) e relação entre frequência natural
Passo 2
Resolvendo (a): primeiro escrevemos a equação característica. Substituímos
, dando
O discriminante é
, ou seja, temos raiz real dupla
Para raiz dupla, a forma geral da solução é
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais para achar
e
.
-
dá
- Precisamos de
. Derivando
Logo
Como
, vem
, então
.
Portanto a solução para (a) é
Passo 4
Agora o item (b). Sem amortecimento (
), a frequência natural é
No regime subamortecido (
), a frequência angular amortecida é
Queremos
. Então
(somente o valor positivo faz sentido como coeficiente de amortecimento).
Resposta
(a)
(b)
(b)