A equação do movimento de um oscilador harmônico amortecido é ddotx+b dotx+9 x=0, onde b é uma constante.
(a) Considere b=6, x(0)=4 e dotx(0)=-8. Determine x(t) para este oscilador.
(b) Calcule qual deve ser o valor de b para que o oscilador possua uma frequência angular igual à um terço da frequência angular que este mesmo oscilador teria se não houvesse amortecimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre a equação de um oscilador harmônico amortecido
ddot x + b,dot x + 9,x = 0
(a) pede para, com e condições iniciais , , achar .
(b) quer o valor de tal que a frequência angular amortecida seja um terço da que teríamos sem amortecimento.
Conteúdo: EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, solução via equação característica, caso crítico (a) e relação entre frequência natural e frequência amortecida (b).

Passo 2

Resolvendo (a): primeiro escrevemos a equação característica. Substituímos r^2 + 6r + 9 = 0, dando
r = -62 = -3
O discriminante é x(t) = (A + B,t),e^-3t, ou seja, temos raiz real dupla
Para raiz dupla, a forma geral da solução é

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais para achar x(0) = (A + Bcdot0)e^0 = A = 4 e dot x(t) = ddtl[(A+B t)e^-3tr] = (B),e^-3t + (A+B t)(-3)e^-3t = e^-3tl(B - 3A - 3B tr) .
  1. dot x(0) = B - 3A = -8
boxedx(t) = (4 + 4t),e^-3t
  1. Precisamos de . Derivando
Logo
Como , vem , então .
Portanto a solução para (a) é

Passo 4

Agora o item (b). Sem amortecimento ( omega0 = raiz9 = 3 ), a frequência natural é
omegad = raizomega0^2 - l(tfracb2r)^2 = raiz9 - tfracb^24
No regime subamortecido ( raiz9 - tfracb^24 = 1 Longrightarrow 9 - tfracb^24 = 1 Longrightarrow tfracb^24 = 8 Longrightarrow b^2 = 32 Longrightarrow b = 4raiz2 ), a frequência angular amortecida é
Queremos . Então
(somente o valor positivo faz sentido como coeficiente de amortecimento).

Resposta

(a)
(b)

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