A equação do movimento de um oscilador harmônico amortecido é
, onde
é uma constante.
(a) Considere
e
. Determine
para este oscilador.
(b) Calcule qual deve ser o valor de
para que o oscilador possua uma frequência angular igual à metade da frequência angular que este mesmo oscilador teria se não houvesse amortecimento.
(a) Considere
(b) Calcule qual deve ser o valor de
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem um oscilador harmônico amortecido cuja equação de movimento é
Na parte (a) pegamos
e as condições iniciais
,
e temos que achar
.
Na parte (b) a gente quer ajustar para que a frequência amortecida seja metade da frequência natural (sem amortecimento).
Na parte (b) a gente quer ajustar
Conteúdo: EDO linear de 2ª ordem homogênea com amortecimento; classificação dos regimes (subamortecido, crítico, sobreamortecido); solução geral; condições iniciais; frequência natural
e frequência amortecida
.
O que vamos precisar:
- Calcular o discriminante
. - Montar a solução geral conforme o regime.
- Usar condições iniciais para determinar constantes.
- Na parte (b), usar
e , com .
Passo 2
Parte (a) – identificar coeficientes e regime:
Aqui ,
,
. O discriminante é
Aqui
Como
, estamos no caso de amortecimento crítico.
Passo 3
Solução geral no caso crítico:
quando , a solução é
quando
onde
.
Passo 4
Aplicando
e
:
- Em
: . - A derivada é
Em
:
Passo 5
Logo, para
, a solução fica
Passo 6
Parte (b) – definir frequências:
A frequência natural (sem amortecimento) é
A frequência natural (sem amortecimento) é
A frequência amortecida é
Queremos
.
Passo 7
Impondo
Como
e
, temos
Resposta
(a)
(b) O valor de é
.
(b) O valor de