A equação do movimento de um oscilador harmônico amortecido é 8 ddotx+b dotx+2 x=0, onde b é uma constante.
(a) Considere b=8, x(0)=4 e dotx(0)=10. Determine x(t) para este oscilador.
(b) Calcule qual deve ser o valor de b para que o oscilador possua uma frequência angular igual à metade da frequência angular que este mesmo oscilador teria se não houvesse amortecimento.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem um oscilador harmônico amortecido cuja equação de movimento é
8,ddot x + b,dot x + 2,x = 0
Na parte (a) pegamos e as condições iniciais , e temos que achar .
Na parte (b) a gente quer ajustar para que a frequência amortecida seja metade da frequência natural (sem amortecimento).
Conteúdo: EDO linear de 2ª ordem homogênea com amortecimento; classificação dos regimes (subamortecido, crítico, sobreamortecido); solução geral; condições iniciais; frequência natural e frequência amortecida .
O que vamos precisar:
  1. Calcular o discriminante .
  2. Montar a solução geral conforme o regime.
  3. Usar condições iniciais para determinar constantes.
  4. Na parte (b), usar e , com .

Passo 2

Parte (a) – identificar coeficientes e regime:
Aqui De, , . O discriminante é
Como , estamos no caso de amortecimento crítico.

Passo 3

Solução geral no caso crítico:
quando x(t) = l(C1 + C2,tr),e^-gamma t, , a solução é
onde .

Passo 4

Aplicando dot x(t) = l(C2r)e^-tfrac t2 + l(C1 + C2,tr),(-tfrac12)e^-tfrac t2 = e^-tfrac t2l(C2 - tfrac12(C1 + C2,t)r) e dot x(0) = C2 - tfrac12,C1 = 10 ;Longrightarrow; C2 = 10 + tfrac12cdot4 = 10 +2 = 12 :
  • Em : .
  • A derivada é
Em :

Passo 5

Logo, para boxedx(t) = l(4 + 12,tr),e^-t/2 , a solução fica

Passo 6

Parte (b) – definir frequências:
A frequência natural (sem amortecimento) é
omega0 = raizca = raiz28 = tfrac12
A frequência amortecida é
omegad = raizomega0^2 - gamma^2, gamma = b2a
Queremos .

Passo 7

Impondo
raizomega0^2 - gamma^2 = tfrac14 ;Longrightarrow; omega0^2 - gamma^2 = tfrac116
Como tfrac14 - l(tfracb16r)^2 = tfrac116 ;Longrightarrow; l(tfracb16r)^2 = tfrac14 - tfrac116 = tfrac316 ;Longrightarrow; b^2 = 16^2cdot tfrac316 = 16cdot3 = 48 ;Longrightarrow; boxedb = 4raiz3 e , temos

Resposta

(a)
(b) O valor de é .

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