Em um certo subúrbio de Los Angeles, a concentração de ozônio no ar, L(t), é 0,25 partes por milhão (p.p.m.) às 7 h . De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de ozônio t horas mais tarde estará variando à razão de L^prime(t)=0,24-0,03 traiz36+16 t-t^2 partes por milhão por hora (p.p.m./h).
Expresse a concentração de ozônio L(t) em função de t.

Passo 1

O enunciado diz que a concentração de ozônio L(t) satisfaz a derivada L'(t)=0,24-0,03traiz36+16t-t^2 e que L(0)=0,25. Trata-se de um problema de cálculo de primitivas: vamos integrar L'(t) para obter L(t) e depois usar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo o numerador, note que 0,24-0,03t=0,03(8-t). Definindo u=36+16t-t^2 obtém-se
du=(16-2t),dt=2(8-t),dt, o que implica (8-t),dt=tfrac12,du. Portanto, ao integrar temos
L(t)=integral L'(t),dt=integral0,03(8-t)raizu,dt=integral0,032u^-1/2,du=0,03u^1/2+C
Logo
L(t)=0,03raiz36+16t-t^2+C

Passo 3

Para determinar a constante, usamos L(0)=0,25. Substituindo em L(t)
0,25=0,03raiz36+C=0,03times6+C=0,18+C
Logo C=0,25-0,18=0,07.

Resposta

L(t)=0,03raiz36+16t-t^2+0,07

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