Obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

A equação que temos é
xdydx+3l(y+x^2r)=sin xx,
o conteúdo é equação diferencial de primeira ordem linear em y(x). Para resolver, vamos reescrever no formato padrão dydx+P(x)y=Q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (e assumindo xneq0), obtemos
dydx+3xy=sin xx^2-3x
Aqui P(x)=3/x e Q(x)=sin x/x^2-3x.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral3x,dxr)=exp(3ln|x|)=x^3

Passo 4

Multiplicamos a equação por x^3:
x^3dydx+3x^2y=x^3l(sin xx^2-3xr)=xsin x-3x^4
O lado esquerdo é a derivada de x^3y:
ddx(x^3y)=xsin x-3x^4

Passo 5

Integramos ambos os lados:
x^3y=integral xsin x,dx-integral3x^4,dx+C

Passo 6

Calculando as integrais separadamente:
Para integral xsin x,dx usamos integração por partes:
integral xsin x,dx=-xcos x+integralcos x,dx=-xcos x+sin x
E
integral3x^4,dx=35x^5

Passo 7

Substituindo de volta:
x^3y=-xcos x+sin x-35x^5+C
Dividindo por x^3 para isolar y:

Passo 8

Finalizamos a solução geral:

Passo 9

y(x)=-xcos x+sin x-tfrac35x^5+Cx^3

Resposta

y(x)=\frac{\sin x}{x^3}-\frac{\cos x}{x2}-\frac{3}{5}x2+\frac{C}{x^3}

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