A taxa de aumento do preço unitário p de um certo produto é dado pela equação p^prime(x)=20 cdot x(7-x)^2 quando x centenas de unidades do produto são oferecidas ao mercado. O fabricante fornece 200 unidades ( x= 2), por R a unidade.
Qual o preço correspondente a uma oferta de 500 unidades?

Passo 1

Temos a taxa de variação do preço unitário em função de x (centenas de unidades):
A equação diferencial é dada por
p'(x)=20,x(7-x)^2
Sabemos também que para x=2 (200 unidades) o preço é p(2)=R$2,00. Queremos encontrar p(5) (500 unidades). Para isso vamos integrar p’(x) e usar a condição inicial.

Passo 2

Para obter p(x), integramos p’(x):
integral 20x(7-x)^2,dx
Fazendo a substituição u=7-x, temos du=-dx e x=7-u. A integral fica
integral 20(7-u)u^2(-du) =-20integral l(7u^2-1ur)du =140u+20ln|u|+C
Voltando a u=7-x, obtemos
p(x)=1407-x+20ln|7-x|+C

Passo 3

Usamos a condição p(2)=2 para determinar C. Substituindo x=2:
2=1407-2+20ln(7-2)+C =1405+20ln5 +C =28+20ln5 +C
Logo
C=2-28-20ln5=-26-20ln5
Assim a expressão completa é
p(x)=1407-x+20ln(7-x)-26-20ln5

Passo 4

Agora avaliamos em x=5 (500 unidades):
p(5)=1407-5+20ln(7-5)-26-20ln5 =1402+20ln2 -26 -20ln5 =70 -26 +20(ln2-ln5) =44+20lnl(tfrac25r)
Numericamente, usando ln(2/5)approx -0,91629, temos
p(5)approx44-18,3258=25,6742

Resposta

O preço correspondente a 500 unidades é aproximadamente R$25,67 por unidade.

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