Use o Teorema (13.8) para determinar uma equação polar da cônica com foco no pólo e excentricidade e equação da diretriz dadas.
e=1, r \cos \theta=5
e=1, r \cos \theta=5
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usar o Teorema (13.8) para encontrar a equação polar de uma cônica. A gente tem o foco no pólo, a excentricidade $ e = 1 $ e a equação da diretriz $ r \cos \theta = 5 $. Vamos precisar entender um pouco sobre cônicas em coordenadas polares e como relacionar esses elementos para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a excentricidade $ e $ nos diz o tipo de cônica:
- $ e = 0 $: círculo
- $ 0 < e < 1 $: elipse
- $ e = 1 $: parábola
- $ e > 1 $: hipérbole
Como aqui $ e = 1 $, estamos lidando com uma parábola.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação da diretriz fornecida: $ r \cos \theta = 5 $. Em coordenadas polares, $ r \cos \theta $ representa a coordenada $ x $ no sistema cartesiano. Então, essa equação é equivalente a $ x = 5 $, que é uma linha vertical a 5 unidades do pólo.
Passo 4
Para encontrar a equação polar da parábola com foco no pólo e diretriz $ x = 5 $, usamos a fórmula geral das cônicas em coordenadas polares:
Onde:
- $ e $ é a excentricidade
- $ d $ é a distância do pólo à diretriz
Passo 5
Sabemos que $ e = 1 $ e a diretriz $ x = 5 $ está a uma distância $ d = 5 $ unidades do pólo. Substituindo esses valores na fórmula:
Resposta
A equação polar da cônica é