Em um certo subúrbio de Los Angeles, a concentração de ozônio no ar,
, é 0,25 partes por milhão (p.p.m.) às 7 h . De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de ozônio
horas mais tarde estará variando à razão de
partes por milhão por hora (p.p.m./h).
Em que instante a concentração de ozônio é máxima? Qual é a concentração máxima de ozônio?
Em que instante a concentração de ozônio é máxima? Qual é a concentração máxima de ozônio?
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre o instante em que a concentração de ozônio
atinge o valor máximo e também qual é esse valor máximo. O conteúdo aqui é análise de funções (pontos críticos, sinal da derivada) e cálculo de integrais definidas para recuperar
a partir de
.
Passo 2
Para achar o ponto crítico, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando o numerador é zero, isto é,
Passo 3
Precisamos garantir que
esteja no domínio, ou seja, o denominador não anula nem fica imaginário. Observamos
Isso vale para
, e
está dentro. Logo é um ponto crítico válido.
Passo 4
Para ver que é máximo, basta notar que antes de
o numerador
e depois é negativo, então
muda de positivo para negativo em
. Concluímos que o máximo ocorre em
horas após as 7 h, ou seja, às 15 h.
Passo 5
Agora precisamos o valor
. Sabemos que
e
Passo 6
Vamos simplificar o integrando. Fatorando
:
Passo 7
Fazendo a mudança de variável
, então
, quando
temos
e quando
temos
. O numerador
. A integral fica
Passo 8
Para calcular
fazemos
logo
e
Aplicando os limites de
a
:
Multiplicando por
dá
. Assim
Passo 9
Portanto
Isso confirma a concentração máxima.
Passo 10
Resposta
A concentração máxima ocorre 8 horas após as 7 h (ou seja, às 15 h) e vale 0,37 p.p.m.