Em um certo subúrbio de Los Angeles, a concentração de ozônio no ar, L(t), é 0,25 partes por milhão (p.p.m.) às 7 h . De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de ozônio t horas mais tarde estará variando à razão de L^prime(t)=0,24-0,03 traiz36+16 t-t^2 partes por milhão por hora (p.p.m./h).
Em que instante a concentração de ozônio é máxima? Qual é a concentração máxima de ozônio?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o instante em que a concentração de ozônio L(t) atinge o valor máximo e também qual é esse valor máximo. O conteúdo aqui é análise de funções (pontos críticos, sinal da derivada) e cálculo de integrais definidas para recuperar L(t) a partir de L'(t).

Passo 2

Para achar o ponto crítico, igualamos a derivada a zero:
L'(t)=0,24-0,03traiz36+16t-t^2=0
Isso ocorre quando o numerador é zero, isto é,
0,24-0,03t=0Longrightarrow t=0,240,03=8,h

Passo 3

Precisamos garantir que t=8 esteja no domínio, ou seja, o denominador não anula nem fica imaginário. Observamos
36+16t-t^2=-(t^2-16t-36)=100-(t-8)^2>0
Isso vale para -2, e t=8 está dentro. Logo é um ponto crítico válido.

Passo 4

Para ver que é máximo, basta notar que antes de t=8 o numerador 0,24-0,03t>0 e depois é negativo, então L'(t) muda de positivo para negativo em t=8. Concluímos que o máximo ocorre em t=8 horas após as 7 h, ou seja, às 15 h.

Passo 5

Agora precisamos o valor L(8). Sabemos que L(0)=0,25 e
L(8)=L(0)+integral0^8L'(t),dt=0,25+integral0^80,24-0,03traiz36+16t-t^2,dt

Passo 6

Vamos simplificar o integrando. Fatorando 0,03:
0,24-0,03traiz36+16t-t^2=0,03,8-traiz100-(t-8)^2

Passo 7

Fazendo a mudança de variável u=t-8, então du=dt, quando t=0 temos u=-8 e quando t=8 temos u=0. O numerador 8-t=-u. A integral fica
integral0^80,24-0,03traiz36+16t-t^2,dt=0,03integral-8^0-uraiz100-u^2,du

Passo 8

Para calcular
integral-uraiz100-u^2,du,
fazemos w=100-u^2 logo dw=-2u,du e
integral-uraiz100-u^2,du=integral12dwraizw=raizw=raiz100-u^2
Aplicando os limites de -8 a 0:
integral-8^0-uraiz100-u^2,du=l[raiz100-u^2r]-8^0=10-6=4
Multiplicando por 0,03 0,12. Assim
integral0^8L'(t),dt=0,12

Passo 9

Portanto
L(8)=0,25+0,12=0,37,ppm
Isso confirma a concentração máxima.

Passo 10

Resposta

A concentração máxima ocorre 8 horas após as 7 h (ou seja, às 15 h) e vale 0,37 p.p.m.

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