Obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (x^2+1),dydx+x,y - x = 0. O conteúdo é equação linear de ordem 1 e vamos precisar transformar na forma padrão, encontrar o fator integrante e integrar.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por x^2+1 para ficar no formato dydx+P(x),y = Q(x). Assim,
dydx + xx^2+1,y = xx^2+1 onde P(x)=tfracxx^2+1 e Q(x)=tfracxx^2+1.

Passo 3

Em seguida, calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral xx^2+1dx. Note que
integral xx^2+1,dx = 12ln(x^2+1)
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mu(x)=e^12ln(x^2+1)=raizx^2+1.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x), obtendo
raizx^2+1,dydx + xraizx^2+1,y = xraizx^2+1 O lado esquerdo é exatamente a derivada de y,raizx^2+1, ou seja,
ddxl(y,raizx^2+1r)=xraizx^2+1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,raizx^2+1=integral xraizx^2+1,dx + C Como ddx(raizx^2+1)=tfracxraizx^2+1, temos
integral xraizx^2+1,dx = raizx^2+1, logo
y,raizx^2+1=raizx^2+1+C

Passo 6

Por fim, isolamos y dividindo por raizx^2+1:
y(x)=1+Craizx^2+1

Resposta

y(x)=1+dfracCraizx^2+1

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