Mostre que a função
é contínua apenas em
e descontínua nos outros pontos.
Passo 1
A função está definida por
O conteúdo que vamos usar é o de continuidade de função real: lembramos que f é contínua em um ponto a se e somente se
. Também vamos aproveitar que os racionais e os irracionais são conjuntos densos em
, ou seja, em qualquer intervalo encontramos pontos de ambos.
Passo 2
Para mostrar que f não é contínua em um ponto
, considere duas sequências
e
que convergem para
: escolha
e
. Como
, temos
Mas como
, também
Se
, então
, logo os limites pelo ramo racional e irracional não coincidem. Isso impede a existência de
, portanto f é descontínua em todo
.
Passo 3
Agora mostramos continuidade em
. Aqui temos
(pois 0 é racional). Dado
, escolha
. Se
, então
Em ambos os casos
, mostrando que
. Portanto f é contínua em 0.
Passo 4
Juntando tudo, concluímos que a única posição em que f é contínua é em 0, e em todo ponto diferente de zero ela falha em satisfazer a definição de continuidade.
Resposta
A função f é contínua apenas em x=0 e descontínua em todos os outros pontos.