Mostre que a função llx, & se x in Q -x, & se x notin Q é contínua apenas em x=0 e descontínua nos outros pontos.

Passo 1

A função está definida por
f(x)=x,&xinQ,-x,&xnotinQ
O conteúdo que vamos usar é o de continuidade de função real: lembramos que f é contínua em um ponto a se e somente se limxto af(x)=f(a). Também vamos aproveitar que os racionais e os irracionais são conjuntos densos em R, ou seja, em qualquer intervalo encontramos pontos de ambos.

Passo 2

Para mostrar que f não é contínua em um ponto aneq0, considere duas sequências (rn) e (sn) que convergem para a: escolha rninQ e snnotinQ. Como rnto a, temos
f(rn)=rnto a
Mas como snto a, também
f(sn)=-snto -a
Se aneq0, então aneq -a, logo os limites pelo ramo racional e irracional não coincidem. Isso impede a existência de limxto af(x), portanto f é descontínua em todo aneq0.

Passo 3

Agora mostramos continuidade em x=0. Aqui temos f(0)=0 (pois 0 é racional). Dado varepsilon>0, escolha de. Se |x-0|, então
f(x)=x&implies|f(x)-f(0)|=|x|
Em ambos os casos |f(x)-0|, mostrando que limxto0f(x)=0=f(0). Portanto f é contínua em 0.

Passo 4

Juntando tudo, concluímos que a única posição em que f é contínua é em 0, e em todo ponto diferente de zero ela falha em satisfazer a definição de continuidade.

Resposta

A função f é contínua apenas em x=0 e descontínua em todos os outros pontos.

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