Quando certo tanque esférico está com água a uma altura h, o volume de líquido é dado por V=5 pi h^2-h^3 pi3. Sabendo que o volume de água no tanque está aumentando à razão de 4 m^3 / min, determine a taxa, em m/min, à qual o nível de água está subindo quando h=2 m.
14 pi 12 pi 1pi 18 pi 116 pi

Passo 1

Beleza, a gente tem um tanque esférico com água chegando até uma altura h. O volume de água nesse tanque é dado pela fórmula V = 5pi h^2 - pi h^33. A matéria aqui é cálculo, mais especificamente taxas relacionadas e derivadas. Precisamos achar a taxa na qual o nível da água está subindo ( dhdt) quando a água está subindo a uma altura de 2 metros, sabendo que o volume está aumentando a uma taxa de 4 , m^3/min.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a relação entre V e h é dada pela função V = 5pi h^2 - pi h^33. Como queremos saber como h muda em relação ao tempo ( t), precisamos derivar V em relação a t usando a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo t:
dVdt = ddt(5pi h^2 - pi h^33)

Passo 4

Aplicando a derivada:
dVdt = 10pi h cdot dhdt - pi h^2 cdot dhdt
Isso porque a derivada de h^n é n h^n-1 cdot dhdt.

Passo 5

Fatorando dhdt:
dVdt = (10pi h - pi h^2) cdot dhdt

Passo 6

Queremos encontrar dhdt quando h = 2 m e dVdt = 4 , m^3/min. Substituindo na equação:
4 = (10pi cdot 2 - pi cdot 2^2) cdot dhdt

Passo 7

Simplificando dentro dos parênteses:
10pi cdot 2 = 20pi
pi cdot 2^2 = 4pi
20pi - 4pi = 16pi
Então:
4 = 16pi cdot dhdt

Passo 8

Isolando dhdt:
dhdt = 416pi = 14pi , m/min

Resposta

A taxa de aumento do nível de água é 14pi metros por minuto.

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