Quando certo tanque esférico está com água a uma altura
, o volume de líquido é dado por
. Sabendo que o volume de água no tanque está aumentando à razão de
, determine a taxa, em m/min, à qual o nível de água está subindo quando
.
Passo 1
Beleza, a gente tem um tanque esférico com água chegando até uma altura
. O volume de água nesse tanque é dado pela fórmula
. A matéria aqui é cálculo, mais especificamente taxas relacionadas e derivadas. Precisamos achar a taxa na qual o nível da água está subindo (
) quando a água está subindo a uma altura de
metros, sabendo que o volume está aumentando a uma taxa de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a relação entre
e
é dada pela função
. Como queremos saber como
muda em relação ao tempo (
), precisamos derivar
em relação a
usando a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Passo 4
Aplicando a derivada:
Isso porque a derivada de
é
.
Passo 5
Fatorando
:
Passo 6
Queremos encontrar
quando
m e
. Substituindo na equação:
Passo 7
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:
Passo 8
Isolando
:
Resposta
A taxa de aumento do nível de água é
metros por minuto.