Resolva as equações diferenciais usando uma substituição apropriada.
(a)
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(h)
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(b)
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©
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(i)
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(d)
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(j)
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(e)
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(f)
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(k)
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(g)
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(l)
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(a)
(h)
(b)
©
(i)
(d)
(j)
(e)
(f)
(k)
(g)
(l)
Passo 1
Observa-se que todas as equações são homogêneas de primeiro grau em x e y, ou podem ser reduzidas a homogêneas por uma substituição apropriada.
Para cada ODE, fazemos a troca y=ux (ou em alguns casos x=vy) de modo que dy/dx = u + x
du/dx (ou dx/dy = v + y
dv/dy).
Substituímos na equação original e obtém-se um ODE em u e x (ou v e y) que é separável.
Para cada ODE, fazemos a troca y=ux (ou em alguns casos x=vy) de modo que dy/dx = u + x
du/dx (ou dx/dy = v + y
dv/dy).
Substituímos na equação original e obtém-se um ODE em u e x (ou v e y) que é separável.
Passo 2
Separamos variáveis, integramos para obter uma relação implícita entre u e x.
Voltamos à variável original usando u=y/x (ou v=x/y) para escrever a solução geral em x e y.
Voltamos à variável original usando u=y/x (ou v=x/y) para escrever a solução geral em x e y.
Resposta
As soluções gerais são:
a) y = x\bigl(C - \ln|x|\bigr)
b) \ln|y - x| + \dfrac{x}{y - x} + \ln|x| = C
c) \dfrac{y}{x} + \ln\Bigl|\dfrac{y}{x}\Bigr| = C
d) \ln\Bigl|\dfrac{y - x}{y + x}\Bigr| = C
e) y = x\bigl(C - \ln|x + y|\bigr)
f) \ln\Bigl|\dfrac{y}{x + y}\Bigr| + \dfrac{x}{y} = C
g) \dfrac{y}{x} - \ln\Bigl|\dfrac{y}{x}\Bigr| = C
h) \ln\Bigl|\dfrac{y + 3x}{3y + x}\Bigr| = C
i) \ln\Bigl|\dfrac{y}{x}\Bigr| - 2\sqrt{\dfrac{y}{x}} = C
j) \arcsinh\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr) - \sqrt{1 + \bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^2} = C
k) \ln\Bigl|\dfrac{y}{x}\Bigr| - \tfrac{1}{3}\ln\bigl(3 + \bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^3\bigr) = C
l) \ln\Bigl|\dfrac{y}{x}\Bigr| + \tfrac{y}{x} + e^{-y/x} = C
a) y = x\bigl(C - \ln|x|\bigr)
b) \ln|y - x| + \dfrac{x}{y - x} + \ln|x| = C
c) \dfrac{y}{x} + \ln\Bigl|\dfrac{y}{x}\Bigr| = C
d) \ln\Bigl|\dfrac{y - x}{y + x}\Bigr| = C
e) y = x\bigl(C - \ln|x + y|\bigr)
f) \ln\Bigl|\dfrac{y}{x + y}\Bigr| + \dfrac{x}{y} = C
g) \dfrac{y}{x} - \ln\Bigl|\dfrac{y}{x}\Bigr| = C
h) \ln\Bigl|\dfrac{y + 3x}{3y + x}\Bigr| = C
i) \ln\Bigl|\dfrac{y}{x}\Bigr| - 2\sqrt{\dfrac{y}{x}} = C
j) \arcsinh\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr) - \sqrt{1 + \bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^2} = C
k) \ln\Bigl|\dfrac{y}{x}\Bigr| - \tfrac{1}{3}\ln\bigl(3 + \bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^3\bigr) = C
l) \ln\Bigl|\dfrac{y}{x}\Bigr| + \tfrac{y}{x} + e^{-y/x} = C