Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
(f) f(x, y)=sin xx+y;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=sin(x/(x+y)) é homogênea, ou seja, se existe um k tal que f(tx,ty)=t^k f(x,y). Vamos usar a definição de homogeneidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Calcular f(tx,ty) substituindo x→tx e y→ty:
f(tx,ty)=sin txtx+ty = sin txt(x+y).
Como t≠0, isso simplifica para
f(tx,ty)=sin xx+y.

Passo 3

Comparei o resultado com t^k f(x,y). Note que f(tx,ty)=sin(x/(x+y))=f(x,y), ou seja, f(tx,ty)=t^0·f(x,y). Portanto k=0.

Resposta

A função é homogênea de grau 0.

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