Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
(f)
;
(f)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=sin(x/(x+y)) é homogênea, ou seja, se existe um k tal que f(tx,ty)=t^k f(x,y). Vamos usar a definição de homogeneidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Calcular f(tx,ty) substituindo x→tx e y→ty:
f(tx,ty)=sin
= sin
.
Como t≠0, isso simplifica para
Como t≠0, isso simplifica para
f(tx,ty)=sin
.
Passo 3
Comparei o resultado com t^k f(x,y). Note que f(tx,ty)=sin(x/(x+y))=f(x,y), ou seja, f(tx,ty)=t^0·f(x,y). Portanto k=0.
Resposta
A função é homogênea de grau 0.