Definição: As equações autônomas são equações da forma
Vamos supor que
seja derivável com derivada contínua no intervalo de estudo.
Sejam
zeros da função
. Os pontos
são chamados pontos críticos ou de equilíbrio da equação
e as soluções
são chamadas soluções de equilíbrio ou estacionárias da equação.
Um ponto de equilíbrio
é chamado estável se para
um pouco diferente de
se aproxima de
, quando t cresce.
Um ponto de equilíbrio
é chamado instável se para
um pouco diferente de
se afasta de
, quando t cresce.
(a) Em cada item a seguir, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
i)
;
ii)
;
iii)
;
iv)
.
Sejam
Um ponto de equilíbrio
Um ponto de equilíbrio
(a) Em cada item a seguir, esboce o gráfico de
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
O exercício pede para analisarmos quatro equações autônomas
, encontrar os pontos de equilíbrio (raízes de
), classificar cada um (estável, instável ou semiestável), desenhar a reta de fase e esboçar a evolução de
em cada região.
Passo 2
Para classificar um ponto de equilíbrio
em
:
– Se , pequenas perturbações são atraídas de ambos os lados ⇒ ponto assintoticamente estável.
– Se , perturbações são repelidas ⇒ ponto instável.
– Se (multiplicidade >1), estudamos o sinal de
imediatamente à esquerda e à direita de
:
• Se o fluxo aponta sempre para de ambos os lados, é estável;
• se sempre afasta, é instável;
• se atrai de um lado e repele do outro, é semiestável.
– Se
– Se
– Se
• Se o fluxo aponta sempre para
• se sempre afasta, é instável;
• se atrai de um lado e repele do outro, é semiestável.
Passo 3
Caso i)
– Zeros: (multiplicidade 2),
,
.
– Sinal de :
• :
⇒
(seta para a direita);
• :
⇒
(esquerda);
• : idem à faixa anterior ⇒
;
• :
⇒
.
– Classificação:
• :
à esquerda,
à direita ⇒ assintoticamente estável;
• :
em ambos os lados, mas seta aponta sempre para valores menores: atrai de um lado (direita) e repele do outro ⇒ semiestável;
• :
à esquerda,
à direita ⇒ instável.
– Reta de fase: marcar os três pontos e indicar setas conforme o sinal de .
– Soluções : monotônicas; por exemplo, se
então cresce sem limite, se
ou
decresce rumo a
ou a 0, etc.
– Zeros:
– Sinal de
•
•
•
•
– Classificação:
•
•
•
– Reta de fase: marcar os três pontos e indicar setas conforme o sinal de
– Soluções
Passo 4
Caso ii)
– Zeros: (todos simples).
– Sinal:
• :
⇒
;
• :
⇒
;
• :
⇒
;
• :
⇒
.
– Classificação:
• : seta entra por ambos os lados ⇒ estável;
• : seta sai por ambos os lados ⇒ instável;
• : seta entra por ambos os lados ⇒ estável.
– Reta de fase e soluções: exemplos de órbitas que convergem a ou divergem de
.
– Zeros:
– Sinal:
•
•
•
•
– Classificação:
•
•
•
– Reta de fase e soluções: exemplos de órbitas que convergem a
Passo 5
Caso iii)
– Zeros: (multiplicidade 2),
,
.
– Sinal:
• :
⇒
;
• :
⇒
;
• :
⇒
.
– Classificação:
• : fluxo sai de
em ambos os lados ⇒ instável;
• : fluxo aponta para a direita em ambos os lados ⇒ semiestável;
• : fluxo aponta para
de ambos os lados ⇒ estável.
– Reta de fase e esboço de : crescimento em
, decaimento fora.
– Zeros:
– Sinal:
•
•
•
– Classificação:
•
•
•
– Reta de fase e esboço de
Passo 6
Caso iv)
– Zeros: e
, cada uma com multiplicidade 2.
– Sinal: e
⇒
, e
para
.
– Setas sempre para a direita.
– Classificação:
• e
: fluxo aponta para eles de um lado e afasta do outro ⇒ semiestáveis.
– Reta de fase e soluções: em todo lugar cresce monotonamente, aproximando-se de 0 ou de 1 de acordo com a posição inicial.
– Zeros:
– Sinal:
– Setas sempre para a direita.
– Classificação:
•
– Reta de fase e soluções: em todo lugar
Resposta
i) Equilíbrios:
estável,
semiestável,
instável.
ii) Equilíbrios: estável,
instável,
estável.
iii) Equilíbrios: instável,
semiestável,
estável.
iv) Equilíbrios: semiestável,
semiestável.
ii) Equilíbrios:
iii) Equilíbrios:
iv) Equilíbrios: