Definição: As equações autônomas são equações da forma
d yd x=f(y)
Vamos supor que f(y) seja derivável com derivada contínua no intervalo de estudo.
Sejam y1, cdots, yk zeros da função f(y). Os pontos yi são chamados pontos críticos ou de equilíbrio da equação d yd x=f(y) e as soluções y(t)=yi são chamadas soluções de equilíbrio ou estacionárias da equação.
Um ponto de equilíbrio yi é chamado estável se para y(t0) um pouco diferente de yi, y(t) se aproxima de yi, quando t cresce.
Um ponto de equilíbrio yi é chamado instável se para y(t0) um pouco diferente de yi, y(t) se afasta de yi, quando t cresce.
(a) Em cada item a seguir, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
i) d yd t=y^2(y^2-1), -infty;
ii) d yd t=y(1-y^2), -infty;
iii) d yd t=y^2(4-y^2), -infty;
iv) d yd t=y^2(1-y)^2, -infty.

Passo 1

O exercício pede para analisarmos quatro equações autônomas tfracdydt=f(y), encontrar os pontos de equilíbrio (raízes de f(y)), classificar cada um (estável, instável ou semiestável), desenhar a reta de fase e esboçar a evolução de y(t) em cada região.

Passo 2

Para classificar um ponto de equilíbrio yi em f(y):
– Se f'(yi)<0, pequenas perturbações são atraídas de ambos os lados ⇒ ponto assintoticamente estável.
– Se f'(yi)>0, perturbações são repelidas ⇒ ponto instável.
– Se f'(yi)=0 (multiplicidade >1), estudamos o sinal de f(y) imediatamente à esquerda e à direita de yi:
• Se o fluxo aponta sempre para yi de ambos os lados, é estável;
• se sempre afasta, é instável;
• se atrai de um lado e repele do outro, é semiestável.

Passo 3

Caso i) f(y)=y^2(y^2-1)
– Zeros: y=0 (multiplicidade 2), y=1, y=-1.
– Sinal de f(y):
y<-1: y^2>0,,y^2-1>0 f>0 (seta para a direita);
-1: y^2>0,,y^2-1<0 f<0 (esquerda);
0: idem à faixa anterior ⇒ f<0;
y>1: y^2>0,,y^2-1>0 f>0.
– Classificação:
y=-1: f>0 à esquerda, f<0 à direita ⇒ assintoticamente estável;
y=0: f<0 em ambos os lados, mas seta aponta sempre para valores menores: atrai de um lado (direita) e repele do outro ⇒ semiestável;
y=1: f<0 à esquerda, f>0 à direita ⇒ instável.
– Reta de fase: marcar os três pontos e indicar setas conforme o sinal de f(y).
– Soluções y(t): monotônicas; por exemplo, se y0>1 então cresce sem limite, se -1 ou 0 decresce rumo a -1 ou a 0, etc.

Passo 4

Caso ii) f(y)=y(1-y^2)
– Zeros: y=-1,0,1 (todos simples).
– Sinal:
y<-1: y<0,1-y^2<0 f>0;
-1: y<0,1-y^2>0 f<0;
0: y>0,1-y^2>0 f>0;
y>1: y>0,1-y^2<0 f<0.
– Classificação:
y=-1: seta entra por ambos os lados ⇒ estável;
y=0: seta sai por ambos os lados ⇒ instável;
y=1: seta entra por ambos os lados ⇒ estável.
– Reta de fase e soluções: exemplos de órbitas que convergem a y=pm1 ou divergem de y=0.

Passo 5

Caso iii) f(y)=y^2(4-y^2)
– Zeros: y=0 (multiplicidade 2), y=2, y=-2.
– Sinal:
y<-2: y^2>0,4-y^2<0 f<0;
-2: 4-y^2>0 f>0;
y>2: 4-y^2<0 f<0.
– Classificação:
y=-2: fluxo sai de -2 em ambos os lados ⇒ instável;
y=0: fluxo aponta para a direita em ambos os lados ⇒ semiestável;
y=2: fluxo aponta para 2 de ambos os lados ⇒ estável.
– Reta de fase e esboço de y(t): crescimento em (-2,2), decaimento fora.

Passo 6

Caso iv) f(y)=y^2(1-y)^2
– Zeros: y=0 e y=1, cada uma com multiplicidade 2.
– Sinal: y^2>=0 e (1-y)^2>=0 f(y)>=0, e f(y)>0 para ynotin0,1.
– Setas sempre para a direita.
– Classificação:
y=0 e y=1: fluxo aponta para eles de um lado e afasta do outro ⇒ semiestáveis.
– Reta de fase e soluções: em todo lugar y(t) cresce monotonamente, aproximando-se de 0 ou de 1 de acordo com a posição inicial.

Resposta

i) Equilíbrios: -1 estável, 0 semiestável, 1 instável.
ii) Equilíbrios: -1 estável, 0 instável, 1 estável.
iii) Equilíbrios: -2 instável, 0 semiestável, 2 estável.
iv) Equilíbrios: 0 semiestável, 1 semiestável.

Exercícios relacionados