Um certo teste de atitude é conhecido produzir escores que são normalmente distribuídos. O teste é administrado a uma amostra de 26 estudantes, selecionados aleatoriamente, obtendo-se os resultados: média =1000; desvio padrão =250.
(a) Construa um intervalo de 99 % de confiança para o escore médio das atitudes para todos os estudantes da população.
(b) Quantos estudantes deveriam ter sido entrevistados, para que fosse de 30 a margem de erro, com 95 % de confiança, para o verdadeiro escore do teste.

Passo 1

O enunciado diz que um teste de atitude tem escores normalmente distribuídos. Numa amostra de 26 alunos, a média foi bar x = 1000 e o desvio‐padrão amostral s = 250.
Conteúdo: intervalo de confiança para a média (quando sigma é desconhecida) e cálculo de tamanho de amostra para uma margem de erro desejada.
O que vamos precisar:
  • Usar a distribuição t de Student para montar o IC de 99% (pois só temos s).
  • Fórmula do IC:
bar x pm talpha/2,,n-1,sraizn
  • Para planejar amostra com erro máximo E=30 e 95% de confiança, usar a fórmula
n = l(zalpha/2,sigmaEr)^2
onde sigma (populacional) a gente vai aproximar por s.

Passo 2

Vamos achar o IC de 99% para a média.
  1. Graus de liberdade: df = n-1 = 25.
  2. Para 99% de confiança, alpha = 0,01, logo alpha/2=0,005.
    Tabelas de Student dão t0.005,25approx 2,787.
  3. Calcula a margem de erro:
E = t0.005,25,sraizn = 2,787 times 250raiz26
Primeiro raiz26approx5,099, então
2505,099approx49,01 Longrightarrow E approx2,787times49,01approx136,6
  1. Monta o intervalo:
1000 pm 136,6 ;Longrightarrow; [1000 - 136,6,;1000 + 136,6] approx[863,4,;1136,6]

Passo 3

Agora, para que a margem de erro seja no máximo E=30 com 95% de confiança, a gente usa a distribuição normal (planejamento):
  1. Para 95%, z0.025=1,96.
  2. Estimamos sigmaapprox s = 250.
  3. Fórmula:
n = l(z0.025,sigmaEr)^2 = l(1,96times25030r)^2
  1. Calcula passo a passo:
1,96times250 = 490, 49030approx16,333, napprox16,333^2approx266,8
  1. Como a gente precisa de número inteiro de estudantes e quer garantir a margem, arredonda para cima: n = 267.

Resposta

(a) IC de 99% para a média: aproximadamente [863,4,;1136,6].
(b) Tamanho de amostra para E=30 e 95%: n = 267 estudantes.

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