Uma prévia eleitoral mostrou que certo candidato recebeu 48 % dos votos. Determine a probabilidade de 500 pessoas selecionadas ao acaso apresentarem a maioria de votos a favor desse candidato?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma prévia eleitoral onde um candidato recebeu 48% dos votos. A pergunta é: qual a probabilidade de, se a gente selecionar 500 pessoas ao acaso, a maioria delas (mais da metade) votem nesse candidato? Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros do problema. Temos:
  • n = 500 pessoas selecionadas.
  • p = 0,48 (48%) é a probabilidade de uma pessoa escolher esse candidato.
  • Queremos saber a probabilidade de X ≥ 251, onde X é o número de pessoas que votam no candidato.

Passo 3

Como estamos lidando com um grande número de tentativas (n = 500), podemos usar a aproximação normal para a distribuição binomial. Isso simplifica os cálculos, já que a distribuição binomial pode ser complicada com números grandes.

Passo 4

Vamos calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:
mu = n times p = 500 times 0,48 = 240
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz500 times 0,48 times 0,52 approx 11,17

Passo 5

Queremos achar a probabilidade de X ≥ 251. Para isso, usamos a correção de continuidade (porque estamos aproximando uma distribuição discreta com uma contínua):
X >= 251 Rightarrow X >= 250,5

Passo 6

Agora, calculamos o escore z, que nos diz quantos desvios padrão o valor 250,5 está acima da média:
z = 250,5 - 24011,17 approx 10,511,17 approx 0,94

Passo 7

Com o escore z, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente. Um z de 0,94 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,8264 de estar abaixo desse valor.

Passo 8

Como queremos a probabilidade de estar acima de 250,5, subtraímos esse valor de 1:
P(X >= 251) = 1 - P(Z <= 0,94) = 1 - 0,8264 = 0,1736

Resposta

A probabilidade de, entre 500 pessoas selecionadas ao acaso, a maioria votar no candidato é de aproximadamente 17,36%.

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