Certo tipo de conserva tem peso líquido
com média de 900 gramas e desvio-padrão de 10 g . A embalagem tem peso
com média de 100 gramas e desvio-padrão de 4 g . Suponha que
e
são independentes, ambas com distribuição normal.
Qual é a probabilidade de o peso bruto ser superior a 1020 g ?
Qual é a probabilidade de o peso bruto ser superior a 1020 g ?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias independentes:
X₁ (peso líquido) ~ N(900 g, 10² g²)
X₂ (peso da embalagem) ~ N(100 g, 4² g²)
E a gente quer a probabilidade de o peso bruto X = X₁ + X₂ ser maior que 1020 g.
Conteúdo: distribuição normal, soma de normais independentes, padronização e uso da tabela da normal.
X₁ (peso líquido) ~ N(900 g, 10² g²)
X₂ (peso da embalagem) ~ N(100 g, 4² g²)
E a gente quer a probabilidade de o peso bruto X = X₁ + X₂ ser maior que 1020 g.
Conteúdo: distribuição normal, soma de normais independentes, padronização e uso da tabela da normal.
Passo 2
Vamos definir X = X₁ + X₂.
Teoria: se X₁ ~ N(μ₁, σ₁²) e X₂ ~ N(μ₂, σ₂²) são independentes, então
Teoria: se X₁ ~ N(μ₁, σ₁²) e X₂ ~ N(μ₂, σ₂²) são independentes, então
Passo 3
Aplicando:
μ₁ = 900 g, μ₂ = 100 g ⇒
μ₁ = 900 g, μ₂ = 100 g ⇒
σ₁ = 10 g, σ₂ = 4 g ⇒
Passo 4
O desvio-padrão de X é
Passo 5
Agora padroniza pra normal padrão Z ~ N(0,1):
$$Z = \frac{X - \mu_X}{\sigma_X}\quad\Rightarrow\quad
P(X > 1020) = P\Bigl(Z > \frac{1020 - 1000}{10{,}770}\Bigr).
z = \frac{1020 - 1000}{10{,}770} \approx 1{,}857.$$
Passo 6
Usando a tabela da normal:
Resposta
A probabilidade de o peso bruto ser superior a 1020 g é aproximadamente
(ou 3,15%).