Certo tipo de conserva tem peso líquido (X1) com média de 900 gramas e desvio-padrão de 10 g . A embalagem tem peso (X2) com média de 100 gramas e desvio-padrão de 4 g . Suponha que X1 e X2 são independentes, ambas com distribuição normal.
Qual é a probabilidade de o peso bruto ser superior a 1020 g ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias independentes:
X₁ (peso líquido) ~ N(900 g, 10² g²)
X₂ (peso da embalagem) ~ N(100 g, 4² g²)
E a gente quer a probabilidade de o peso bruto X = X₁ + X₂ ser maior que 1020 g.
Conteúdo: distribuição normal, soma de normais independentes, padronização e uso da tabela da normal.

Passo 2

Vamos definir X = X₁ + X₂.
Teoria: se X₁ ~ N(μ₁, σ₁²) e X₂ ~ N(μ₂, σ₂²) são independentes, então
X = X₁ + X₂ sim N(mu1 + mu2,;sigma1^2 + sigma2^2),

Passo 3

Aplicando:
μ₁ = 900 g, μ₂ = 100 g ⇒
muX = μ₁ + μ₂ = 900 + 100 = 1000;(g)
σ₁ = 10 g, σ₂ = 4 g ⇒
sigmaX^2 = σ₁^2 + σ₂^2 = 10^2 + 4^2 = 100 + 16 = 116;(g^2)

Passo 4

O desvio-padrão de X é
sigmaX = raiz116 approx 10,770;g

Passo 5

Agora padroniza pra normal padrão Z ~ N(0,1):
$$Z = \frac{X - \mu_X}{\sigma_X}\quad\Rightarrow\quad
P(X > 1020) = P\Bigl(Z > \frac{1020 - 1000}{10{,}770}\Bigr). Z = X - muXsigmaXRightarrow P(X > 1020) = Pl(Z > 1020 - 100010,770r)z = \frac{1020 - 1000}{10{,}770} \approx 1{,}857.$$

Passo 6

Usando a tabela da normal:
P(Z > 1,857) = 1 - Phi(1,857)approx 1 - 0,9685 = 0,0315

Resposta

A probabilidade de o peso bruto ser superior a 1020 g é aproximadamente 0,0315 (ou 3,15%).

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