De um lote de produtos manufaturados, extraímos 100 itens ao acaso. Se 10 % dos itens do lote são defeituosos, calcular a probabilidade de:
mais do que 12 itens serem defeituosos.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: de um lote a gente tira 100 itens ao acaso, sabendo que 10 % do lote são defeituosos (ou seja, p = 0,1). Queremos achar a probabilidade de “ter mais do que 12 itens defeituosos” nessa amostra.
Conteúdo: distribuição binomial (X ~ Binomial(n=100, p=0,1)) e, para não ficar somando 𝐶(100,k) 0,1ᵏ 0,9^(100−k) de k=13 até 100, vamos usar a aproximação pela distribuição normal (Teorema do Limite Central).

Passo 2

Definindo a variável aleatória:
X = número de itens defeituosos na amostra de 100.
Como cada item tem probabilidade p=0,1 de ser defeituoso e os 100 são independentes, X ~ Binomial(n=100, p=0,1).
A probabilidade que buscamos é
P(X > 12) ;=; 1 - P(X <= 12) ;=; 1 - sumk=0^12 binom100k (0.1)^k (0.9)^100-k
Só que esse somatório é gigante pra fazer “no braço”.

Passo 3

Quando n é grande (aqui n=100) e p não é muito perto de 0 ou 1, dá pra aproximar X por uma normal:
X approx Y sim N(mu, sigma^2) com mu = n p = 100 times 0.1 = 10, sigma^2 = n p (1-p) = 100 times 0.1 times 0.9 = 9, sigma = 3
Isso é o Teorema do Limite Central mandando um “coloque normal” pra facilitar.

Passo 4

Pra usar a correção de continuidade (porque binomial é discreta e normal é contínua), transformamos “X > 12” em “Y > 12,5”:
P(X > 12) approx P(Y > 12,5)
Agora padronizamos:
Z = Y - musigma = Y - 103
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P(Y > 12,5) = P!l(Z > 12,5 - 103r) = P!l(Z > tfrac2,53r) = P(Z > 0,8333ldots)

Passo 5

Consultando a tabela da normal padrão,
Phi(0,83) approx 0,7967 Longrightarrow P(Z > 0,83) = 1 - 0,7967 = 0,2033

Resposta

A probabilidade de ter mais do que 12 itens defeituosos é, aproximadamente, 0{,}20 (20 %).

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