De um lote de produtos manufaturados, extraímos 100 itens ao acaso. Se 10 % dos itens do lote são defeituosos, calcular a probabilidade de:
mais do que 12 itens serem defeituosos.
mais do que 12 itens serem defeituosos.
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: de um lote a gente tira 100 itens ao acaso, sabendo que 10 % do lote são defeituosos (ou seja, p = 0,1). Queremos achar a probabilidade de “ter mais do que 12 itens defeituosos” nessa amostra.
Conteúdo: distribuição binomial (X ~ Binomial(n=100, p=0,1)) e, para não ficar somando 𝐶(100,k) 0,1ᵏ 0,9^(100−k) de k=13 até 100, vamos usar a aproximação pela distribuição normal (Teorema do Limite Central).
Conteúdo: distribuição binomial (X ~ Binomial(n=100, p=0,1)) e, para não ficar somando 𝐶(100,k) 0,1ᵏ 0,9^(100−k) de k=13 até 100, vamos usar a aproximação pela distribuição normal (Teorema do Limite Central).
Passo 2
Definindo a variável aleatória:
X = número de itens defeituosos na amostra de 100.
Como cada item tem probabilidade p=0,1 de ser defeituoso e os 100 são independentes, X ~ Binomial(n=100, p=0,1).
A probabilidade que buscamos é
X = número de itens defeituosos na amostra de 100.
Como cada item tem probabilidade p=0,1 de ser defeituoso e os 100 são independentes, X ~ Binomial(n=100, p=0,1).
A probabilidade que buscamos é
Só que esse somatório é gigante pra fazer “no braço”.
Passo 3
Quando n é grande (aqui n=100) e p não é muito perto de 0 ou 1, dá pra aproximar X por uma normal:
Isso é o Teorema do Limite Central mandando um “coloque normal” pra facilitar.
Passo 4
Pra usar a correção de continuidade (porque binomial é discreta e normal é contínua), transformamos “X > 12” em “Y > 12,5”:
Agora padronizamos:
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Passo 5
Consultando a tabela da normal padrão,
Resposta
A probabilidade de ter mais do que 12 itens defeituosos é, aproximadamente, 0{,}20 (20 %).