Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.000 cm . Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 cm tenha nenhum corte? No máximo dois cortes? Pelo menos dois cortes? Resp: 0.3679; 0.9197; 0.2642.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que numa fabricação de fita magnética o número de “cortes” acontece em média a uma taxa de 1 corte a cada 2 000 cm. Queremos saber, num pedaço de 2 000 cm, qual é a probabilidade de:
  • não ter cortes;
  • ter no máximo 2 cortes;
  • ter pelo menos 2 cortes.
Isso é um clássico de Distribuição de Poisson, onde cada “corte” é um evento raro ao longo do comprimento.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar o parâmetro λ da Poisson.
λ é a média esperada de eventos no intervalo. Como são 1 corte por 2 000 cm e o nosso rolo tem 2 000 cm,
lambda = 1,(corte/2000,cm) times 2000,cm = 1

Passo 3

Lembra da fórmula da Poisson? Para um número inteiro P(X = k) = lambda^k e^-lambdak! de eventos,
P(X=0) = 1^0 e^-10! = e^-1 approx 0,3679
Como descobrimos que , para “nenhum corte” ( ) temos:

Passo 4

Agora “no máximo 2 cortes” é P(X<=2) = e^-1 + e^-1 + tfrac12 e^-1 = 2,5,e^-1 approx 2,5times0,3679 = 0,9197 .
Calculemos cada pedacinho:
  • ,
  • .
Somando:

Passo 5

Por fim, “pelo menos 2 cortes” é P(X>=2) = 1 - P(X<=1) = 1 - l[P(0)+P(1)r] = 1 - l[e^-1 + e^-1r] = 1 - 2,e^-1 approx 1 - 2times0,3679 = 0,2642 . É mais fácil usar o complementar de :

Resposta

0,3679; 0,9197; 0,2642.

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