Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas. Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a duração de vida de um fusível que segue uma distribuição exponencial, com uma média de vida de 100 horas. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona a distribuição exponencial e usar algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, o “evento” é o fusível que queima. A principal característica dessa distribuição é que ela é definida por um parâmetro λ (lambda), que é a taxa de ocorrência do evento.
Passo 3
Sabemos que a média (ou valor esperado) da distribuição exponencial é dada por $ \frac{1}{\lambda} $. No nosso problema, a média é de 100 horas. Então, para encontrar λ, fazemos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de o fusível durar mais de 150 horas, ou seja, $ P(X > 150) $. Na distribuição exponencial, a probabilidade de X ser maior que um certo valor é dada pela função:
Onde:
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828)
- $ \lambda $ é a taxa que encontramos
- $ x $ é o tempo que queremos analisar (150 horas)
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos calcular $ e^{-1{,}5} $.
Passo 6
Calculando $ e^{-1{,}5} $:
Isso significa que a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas é de aproximadamente 22,31%.
Resposta
A probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas é de aproximadamente 22,31%.