Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas. Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a duração de vida de um fusível que segue uma distribuição exponencial, com uma média de vida de 100 horas. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona a distribuição exponencial e usar algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, o “evento” é o fusível que queima. A principal característica dessa distribuição é que ela é definida por um parâmetro λ (lambda), que é a taxa de ocorrência do evento.

Passo 3

Sabemos que a média (ou valor esperado) da distribuição exponencial é dada por $ \frac{1}{\lambda} $. No nosso problema, a média é de 100 horas. Então, para encontrar λ, fazemos:
1lambda é

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de o fusível durar mais de 150 horas, ou seja, $ P(X > 150) $. Na distribuição exponencial, a probabilidade de X ser maior que um certo valor é dada pela função:
P(X > 150)
Onde:
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828)
  • $ \lambda $ é a taxa que encontramos
  • $ x $ é o tempo que queremos analisar (150 horas)

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(X > 150) = e^-0,01 times 150 = e^-1,5
Agora, precisamos calcular $ e^{-1{,}5} $.

Passo 6

Calculando $ e^{-1{,}5} $:
e^-1,5
Isso significa que a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas é de aproximadamente 22,31%.

Resposta

A probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas é de aproximadamente 22,31%.

Exercícios relacionados