1. Certo tipo de lâmpada elétrica tem uma duração média de 1500 horas com um desvio padrão de 150 horas. Três lâmpadas estão conectadas de modo que quando uma queima outra acende. Supondo que os tempos de duração são normalmente distribuídos, qual é a probabilidade de que a iluminação irá ocorrer (a) por pelo menos 5000 horas, (b) no máximo por 2400 horas?

Passo 1

O enunciado considera três lâmpadas cujos tempos de vida são independentes e normalmente distribuídos com média de 1500 horas e desvio-padrão de 150 horas. Elas estão em série, ou seja, o tempo total de iluminação T é a soma dos três tempos. O conteúdo aqui é a soma de variáveis aleatórias normais independentes:
T = X_{1}+X_{2}+X_{3},\quad X_{i}\sim N(1500,150^{2}).

Passo 2

Pela propriedade da soma de normais independentes, T também é normal com
\mu_{T} = 3\times 1500 = 4500,
\sigma_{T}^{2} = 3\times 150^{2} = 67500,
\sigma_{T} = \sqrt{67500}\approx 259{,}81.

Passo 3

Para (a) queremos
P(T\ge 5000).
Padronizando Z = \frac{T-\mu_{T}}{\sigma_{T}}, temos
z = \frac{5000 - 4500}{259{,}81}\approx 1{,}924.
Logo
P(T\ge 5000) = 1 - \Phi(1{,}924)\approx 1 - 0{,}9727 = 0{,}0273.

Passo 4

Para (b) queremos
P(T\le 2400).
Padronizando,
z = \frac{2400 - 4500}{259{,}81}\approx -8{,}084.
Como esse valor está muito abaixo da média,
P(T\le 2400) = \Phi(-8{,}084)\approx 6{,}7\times 10^{-16}\approx 0.

Resposta

(a) 0{,}0273
(b) praticamente 0 (aprox.\ 6,7\times10^{-16})

Exercícios relacionados