O intervalo de [ 35, 21 ; 35,99], com confiança 95 \% foi construído a partir de uma amostra de tamanho 100, para média \mu de uma população Normal com desvio padrão igual a 2.
a) Qual o valor encontrado para a média dessa amostra?r: 35,6
b) Se utilizássemos essa mesma amostra, mas uma confiança de 90 \%, qual seria o novo intervalo de confiança? R: [35,27; 35,93]

Passo 1

O enunciado nos dá um intervalo de confiança de 95\% para a média \mu de uma população Normal com desvio padrão conhecido \sigma=2, a partir de uma amostra de tamanho n=100. Esse intervalo é
[35,21;\;35,99].
Pede-se:
– (a) o valor da média amostral \bar x;
– (b) o novo intervalo de confiança de 90\% usando a mesma amostra.

Passo 2

Em um intervalo de confiança simétrico com limites L e U, a média amostral \bar x fica exatamente no ponto médio:
\bar x = \frac{L + U}{2}.
Aqui L=35,21 e U=35,99.

Passo 3

Calculando a média amostral:
\bar x = \frac{35,21 + 35,99}{2} = \frac{71,20}{2} =35,60.

Passo 4

Para construir um intervalo de confiança de 90\% com \sigma conhecido, usamos a fórmula
\bar x \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde para 90\% de confiança temos \alpha=0,10 e
z_{1-\frac{\alpha}{2}} = z_{0,95} \approx 1,645.
Logo, a nova margem de erro é
\text{ME}_{90} =1,645\;\frac{2}{\sqrt{100}} =1,645\;\frac{2}{10} =1,645\times0,2 =0,329.

Passo 5

O intervalo de 90\% passa a ser
\bigl[\bar x - \text{ME}_{90} \;;\;\bar x + \text{ME}_{90}\bigr] = [35,60 - 0,33;\;35,60 + 0,33] = [35,27;\;35,93].

Resposta

a) \bar x = 35,60
b) Intervalo de confiança de 90\%: [35,27;\;35,93]

Exercícios relacionados