1. Certo tipo de produto é tido como preferido por 40 \% do mercado consumidor de determinada região. Procurando investigar essa preferência, organizou-se uma pesquisa, selecionando-se aleatoriamente 215 consumidores dos quais 100 disseram preferir aquele produto. Podemos aceitar a pretensão inicial, a um nível de significância de 1 \% ?

Passo 1

O enunciado diz que a proporção verdadeira de consumidores que preferem o produto é p_0=0,40. Foi feita uma amostra aleatória de tamanho n=215 e nela x=100 consumidores afirmaram preferir esse produto. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,01, se podemos aceitar a pretensão inicial de 40\%.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste de proporção:
H_0: p = p_0 = 0{,}40
H_1: p \neq 0{,}40
Esse é um teste bilateral porque queremos verificar se a proporção amostral difere de 0,40 em qualquer direção.

Passo 3

Calculamos a proporção observada na amostra:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{100}{215} \approx 0{,}4651.

Passo 4

Sob H_0, a variância de \hat p é dada por
\mathrm{Var}(\hat p) = \frac{p_0\,(1-p_0)}{n} = \frac{0{,}40 \times 0{,}60}{215} \approx 0{,}0011163,
logo o desvio-padrão é
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{0{,}40 \times 0{,}60}{215}} \approx 0{,}03341.

Passo 5

O estatístico de teste z é
z = \frac{\hat p - p_0}{\sigma_{\hat p}} = \frac{0{,}4651 - 0{,}40}{0{,}03341} \approx 1{,}947.

Passo 6

Para \alpha=0{,}01 em teste bilateral, os valores críticos são
z_{\alpha/2} = z_{0{,}005} \approx \pm 2{,}575.

Passo 7

Como
|z| = 1{,}947 < 2{,}575,
não rejeitamos H_0. O valor-p também seria bem maior que 0{,}01, confirmando que a diferença observada pode ser apenas amostral.

Resposta

Podemos aceitar a pretensão de que 40\% do mercado prefere o produto ao nível de significância de 1\%.

Exercícios relacionados